Cálculo Ejemplos

$\sum_{k = 0}^{3} {(- \frac{1}{2})}^{k}$

Paso 1

Expande la serie para cada valor de $k$ .

${(- \frac{1}{2})}^{0} + {(- \frac{1}{2})}^{1} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{2}$ .

${(- 1)}^{0} {(\frac{1}{2})}^{0} + {(- \frac{1}{2})}^{1} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Paso 2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

${(- 1)}^{0} \frac{1^{0}}{2^{0}} + {(- \frac{1}{2})}^{1} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Paso 2.1.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$1 \frac{1^{0}}{2^{0}} + {(- \frac{1}{2})}^{1} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Paso 2.1.3

Multiplica $\frac{1^{0}}{2^{0}}$ por $1$ .

$\frac{1^{0}}{2^{0}} + {(- \frac{1}{2})}^{1} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Paso 2.1.4

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1}{2^{0}} + {(- \frac{1}{2})}^{1} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Paso 2.1.5

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1}{1} + {(- \frac{1}{2})}^{1} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Paso 2.1.6

Divide $1$ por $1$ .

$1 + {(- \frac{1}{2})}^{1} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Paso 2.1.7

Simplifica.

$1 - \frac{1}{2} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Paso 2.1.8

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 2.1.8.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{2}$ .

$1 - \frac{1}{2} + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Paso 2.1.8.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$1 - \frac{1}{2} + {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Paso 2.1.9

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$1 - \frac{1}{2} + 1 \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Paso 2.1.10

Multiplica $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$1 - \frac{1}{2} + \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Paso 2.1.11

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Paso 2.1.12

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Paso 2.1.13

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 2.1.13.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{2}$ .

$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + {(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}$

Paso 2.1.13.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + {(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{2^{3}}$

Paso 2.1.14

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1^{3}}{2^{3}}$

Paso 2.1.15

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{2^{3}}$

Paso 2.1.16

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8}$

Paso 2.2

Obtén el denominador común

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Paso 2.2.1

Escribe $1$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8}$

Paso 2.2.2

Multiplica $\frac{1}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{1}{1} \cdot \frac{8}{8} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8}$

Paso 2.2.3

Multiplica $\frac{1}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{8}{8} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8}$

Paso 2.2.4

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{8}{8} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{4}) + \frac{1}{4} - \frac{1}{8}$

Paso 2.2.5

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{8}{8} - \frac{4}{2 \cdot 4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8}$

Paso 2.2.6

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{8}{8} - \frac{4}{2 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{8}$

Paso 2.2.7

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{8}{8} - \frac{4}{2 \cdot 4} + \frac{2}{4 \cdot 2} - \frac{1}{8}$

Paso 2.2.8

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{8}{8} - \frac{4}{8} + \frac{2}{4 \cdot 2} - \frac{1}{8}$

Paso 2.2.9

Reordena los factores de $4 \cdot 2$ .

$\frac{8}{8} - \frac{4}{8} + \frac{2}{2 \cdot 4} - \frac{1}{8}$

Paso 2.2.10

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{8}{8} - \frac{4}{8} + \frac{2}{8} - \frac{1}{8}$

Paso 2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{8 - 4 + 2 - 1}{8}$

Paso 2.4

Resta $4$ de $8$ .

$\frac{4 + 2 - 1}{8}$

Paso 2.5

Suma $4$ y $2$ .

$\frac{6 - 1}{8}$

Paso 2.6

Resta $1$ de $6$ .

$\frac{5}{8}$

Paso 3

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{5}{8}$

Forma decimal:

$0.625$