Cálculo Ejemplos

$y = \sqrt{\sin (x) + y}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{\sin (x) + y}$ como ${(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}})$

Paso 3

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = \sin (x) + y$ .

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Paso 4.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\sin (x) + y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\sin (x) + y]$

Paso 4.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (x) + y]$

Paso 4.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sin (x) + y$ .

$\frac{1}{2} {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (x) + y]$

Paso 4.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x) + y]$

Paso 4.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x) + y]$

Paso 4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {(\sin (x) + y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x) + y]$

Paso 4.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(\sin (x) + y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x) + y]$

Paso 4.5.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(\sin (x) + y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x) + y]$

Paso 4.6

Diferencia con la regla de la suma.

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Paso 4.6.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {(\sin (x) + y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x) + y]$

Paso 4.6.2

Combina fracciones.

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Paso 4.6.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(\sin (x) + y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(\sin (x) + y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\sin (x) + y]$

Paso 4.6.2.2

Mueve ${(\sin (x) + y)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sin (x) + y]$

Paso 4.6.3

Según la regla de la suma, la derivada de $\sin (x) + y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [y])$

Paso 4.7

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\frac{1}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} (\cos (x) + \frac{d}{d x} [y])$

Paso 4.8

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{1}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} (\cos (x) + y')$

Paso 4.9

Reordena los factores de $\frac{1}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} (\cos (x) + y')$ .

$(\cos (x) + y') \frac{1}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = (\cos (x) + y') (\frac{1}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 6

Resuelve $y'$

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Paso 6.1

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.1.1

Simplifica $(\cos (x) + y') \frac{1}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

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Paso 6.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y' = \cos (x) \frac{1}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} + y' \frac{1}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6.1.1.2

Combina $\cos (x)$ y $\frac{1}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$y' = \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} + y' \frac{1}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6.1.1.3

Combina $y'$ y $\frac{1}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$y' = \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6.2

Resta $\frac{y'}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}}$ de ambos lados de la ecuación.

$y' - \frac{y'}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6.3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 6.3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, 2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}, 2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.3.2

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 6.3.3

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 6.3.4

Como $2$ no tiene factores además de $1$ y $2$ .

$2$ es un número primo

Paso 6.3.5

El MCM de $1, 2, 2$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$2$

Paso 6.3.6

El factor para $\sin (x) + y$ es $\sin (x) + y$ en sí mismo.

$(\sin (x) + y) = \sin (x) + y$

$(\sin (x) + y)$ ocurre $1$ vez.

Paso 6.3.7

El MCM de ${(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}, {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

${(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.3.8

El mínimo común múltiplo $LCM$ de algunos números es el número más pequeño del que los números son factores.

$2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.4

Multiplica cada término en $y' - \frac{y'}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}}$ por $2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 6.4.1

Multiplica cada término en $y' - \frac{y'}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}}$ por $2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y' (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}) - \frac{y'}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.4.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 y' {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - \frac{y'}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.4.2.1.2

Cancela el factor común de $2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 6.4.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{y'}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}}$ al numerador.

$2 y' {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- y'}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.4.2.1.2.2

Cancela el factor común.

Paso 6.4.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$2 y' {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - y' = \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.4.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 y' {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - y' = 2 \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.4.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.4.3.2.1

Cancela el factor común.

$2 y' {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - y' = 2 \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.4.3.2.2

Reescribe la expresión.

$2 y' {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - y' = \frac{\cos (x)}{{(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.4.3.3

Cancela el factor común de ${(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 6.4.3.3.1

Cancela el factor común.

$2 y' {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - y' = \frac{\cos (x)}{{(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.4.3.3.2

Reescribe la expresión.

$2 y' {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - y' = \cos (x)$

Paso 6.5

Resuelve la ecuación.

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Paso 6.5.1

Factoriza $y'$ de $2 y' {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - y'$ .

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Paso 6.5.1.1

Factoriza $y'$ de $2 y' {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y' (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}) - y' = \cos (x)$

Paso 6.5.1.2

Factoriza $y'$ de $- y'$ .

$y' (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}) + y' \cdot - 1 = \cos (x)$

Paso 6.5.1.3

Factoriza $y'$ de $y' (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}) + y' \cdot - 1$ .

$y' (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - 1) = \cos (x)$

Paso 6.5.2

Divide cada término en $y' (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - 1) = \cos (x)$ por $2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - 1$ y simplifica.

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Paso 6.5.2.1

Divide cada término en $y' (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - 1) = \cos (x)$ por $2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - 1$ .

$\frac{y' (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - 1} = \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - 1}$

Paso 6.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.5.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - 1} = \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - 1}$

Paso 6.5.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - 1}$

Paso 7

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - 1}$