Cálculo Ejemplos

$y = 6 x^{2} \sin (x) + 12 x \cos (x) - 12 \sin (x)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (6 x^{2} \sin (x) + 12 x \cos (x) - 12 \sin (x))$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x^{2} \sin (x) + 12 x \cos (x) - 12 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [12 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [12 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x^{2} \sin (x)]$ .

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Paso 3.2.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x^{2} \sin (x)$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [12 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sin (x)$ .

$6 (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [12 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Paso 3.2.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$6 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [12 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Paso 3.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$6 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [12 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [12 x \cos (x)]$ .

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Paso 3.3.1

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 x \cos (x)$ con respecto a $x$ es $12 \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

$6 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 12 \frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \cos (x)$ .

$6 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 12 (x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Paso 3.3.3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$6 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 12 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Paso 3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 12 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Paso 3.3.5

Multiplica $\cos (x)$ por $1$ .

$6 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 12 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Paso 3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$ .

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Paso 3.4.1

Como $- 12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 12 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $- 12 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$6 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 12 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) - 12 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 3.4.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$6 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 12 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) - 12 \cos (x)$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$6 (x^{2} \cos (x)) + 6 (\sin (x) (2 x)) + 12 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) - 12 \cos (x)$

Paso 3.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$6 (x^{2} \cos (x)) + 6 (\sin (x) (2 x)) + 12 (x (- \sin (x))) + 12 \cos (x) - 12 \cos (x)$

Paso 3.5.3

Combina los términos.

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Paso 3.5.3.1

Multiplica $2$ por $6$ .

$6 x^{2} \cos (x) + 12 (\sin (x) (x)) + 12 (x (- \sin (x))) + 12 \cos (x) - 12 \cos (x)$

Paso 3.5.3.2

Multiplica $- 1$ por $12$ .

$6 x^{2} \cos (x) + 12 \sin (x) x - 12 (x (\sin (x))) + 12 \cos (x) - 12 \cos (x)$

Paso 3.5.3.3

Resta $12 x \sin (x)$ de $12 \sin (x) x$ .

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Paso 3.5.3.3.1

Mueve $\sin (x)$ .

$6 x^{2} \cos (x) + 12 x \sin (x) - 12 x \sin (x) + 12 \cos (x) - 12 \cos (x)$

Paso 3.5.3.3.2

Resta $12 x \sin (x)$ de $12 x \sin (x)$ .

$6 x^{2} \cos (x) + 0 + 12 \cos (x) - 12 \cos (x)$

Paso 3.5.3.4

Suma $6 x^{2} \cos (x)$ y $0$ .

$6 x^{2} \cos (x) + 12 \cos (x) - 12 \cos (x)$

Paso 3.5.3.5

Resta $12 \cos (x)$ de $12 \cos (x)$ .

$6 x^{2} \cos (x) + 0$

Paso 3.5.3.6

Suma $6 x^{2} \cos (x)$ y $0$ .

$6 x^{2} \cos (x)$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = 6 x^{2} \cos (x)$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 x^{2} \cos (x)$