Cálculo Ejemplos

$y^{3} = e^{x} \ln (x^{2} - 1)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y^{3}) = \frac{d}{d x} (e^{x} \ln (x^{2} - 1))$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 y^{2} y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = \ln (x^{2} - 1)$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} - 1)] + \ln (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{2} - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} - 1$ .

$e^{x} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + \ln (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 3.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$e^{x} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + \ln (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 1$ .

$e^{x} (\frac{1}{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + \ln (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 3.3

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Combina $\frac{1}{x^{2} - 1}$ y $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + \ln (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 3.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{e^{x}}{x^{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \ln (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{e^{x}}{x^{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) + \ln (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 3.3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{e^{x}}{x^{2} - 1} (2 x + 0) + \ln (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 3.3.5

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.5.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{e^{x}}{x^{2} - 1} (2 x) + \ln (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 3.3.5.2

Combina $2$ y $\frac{e^{x}}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{2 e^{x}}{x^{2} - 1} x + \ln (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 3.3.5.3

Combina $\frac{2 e^{x}}{x^{2} - 1}$ y $x$ .

$\frac{2 e^{x} x}{x^{2} - 1} + \ln (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 3.4

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{2 e^{x} x}{x^{2} - 1} + \ln (x^{2} - 1) e^{x}$

Paso 3.5

Para escribir $\ln (x^{2} - 1) e^{x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{2 e^{x} x}{x^{2} - 1} + \frac{\ln (x^{2} - 1) e^{x} (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}$

Paso 3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 e^{x} x + \ln (x^{2} - 1) e^{x} (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}$

Paso 3.7

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.1.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 e^{x} x + \ln (x^{2} - 1) e^{x} x^{2} + \ln (x^{2} - 1) e^{x} \cdot - 1}{x^{2} - 1}$

Paso 3.7.1.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $\ln (x^{2} - 1) e^{x}$ .

$\frac{2 e^{x} x + \ln (x^{2} - 1) e^{x} x^{2} - 1 \cdot (\ln (x^{2} - 1) e^{x})}{x^{2} - 1}$

Paso 3.7.1.1.3

Reescribe $- 1 (\ln (x^{2} - 1) e^{x})$ como $- (\ln (x^{2} - 1) e^{x})$ .

$\frac{2 e^{x} x + \ln (x^{2} - 1) e^{x} x^{2} - \ln (x^{2} - 1) e^{x}}{x^{2} - 1}$

Paso 3.7.1.2

Reordena los factores en $2 e^{x} x + \ln (x^{2} - 1) e^{x} x^{2} - \ln (x^{2} - 1) e^{x}$ .

$\frac{2 x e^{x} + x^{2} e^{x} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}$

Paso 3.7.2

Reordena los términos.

$\frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$3 y^{2} y' = \frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}$

Paso 5

Divide cada término en $3 y^{2} y' = \frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}$ por $3 y^{2}$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Divide cada término en $3 y^{2} y' = \frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}$ por $3 y^{2}$ .

$\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{\frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}}{3 y^{2}}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{\frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}}{3 y^{2}}$

Paso 5.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{\frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}}{3 y^{2}}$

Paso 5.2.2

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{\frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}}{3 y^{2}}$

Paso 5.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{\frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}}{3 y^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y' = \frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1} \cdot \frac{1}{3 y^{2}}$

Paso 5.3.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$y' = \frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1^{2}} \cdot \frac{1}{3 y^{2}}$

Paso 5.3.2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$y' = \frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{3 y^{2}}$

Paso 5.3.3

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.1

Multiplica $\frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ por $\frac{1}{3 y^{2}}$ .

$y' = \frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{(x + 1) (x - 1) (3 y^{2})}$

Paso 5.3.3.2

Reordena.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.2.1

Mueve $3$ a la izquierda de $(x + 1) (x - 1)$ .

$y' = \frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{3 \cdot ((x + 1) (x - 1)) y^{2}}$

Paso 5.3.3.2.2

Reordena los factores en $\frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{3 (x + 1) (x - 1) y^{2}}$ .

$y' = \frac{2 x e^{x} + x^{2} \ln (x^{2} - 1) e^{x} - \ln (x^{2} - 1) e^{x}}{3 y^{2} (x + 1) (x - 1)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x e^{x} + x^{2} \ln (x^{2} - 1) e^{x} - \ln (x^{2} - 1) e^{x}}{3 y^{2} (x + 1) (x - 1)}$