Cálculo Ejemplos

$x^{6} y + y^{6} x = 6$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{6} y + y^{6} x) = \frac{d}{d x} (6)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{6} y + y^{6} x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{6} y] + \frac{d}{d x} [y^{6} x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{6} y] + \frac{d}{d x} [y^{6} x]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{6} y]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{6}$ y $g (x) = y$ .

$x^{6} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{6} x]$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x^{6} y' + y \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{6} x]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$x^{6} y' + y (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [y^{6} x]$

Paso 2.2.4

Mueve $6$ a la izquierda de $y$ .

$x^{6} y' + 6 y x^{5} + \frac{d}{d x} [y^{6} x]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{6} x]$ .

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = y^{6}$ y $g (x) = x$ .

$x^{6} y' + 6 y x^{5} + y^{6} \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [y^{6}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{6} y' + 6 y x^{5} + y^{6} \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [y^{6}]$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{6}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$x^{6} y' + 6 y x^{5} + y^{6} \cdot 1 + x (\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$x^{6} y' + 6 y x^{5} + y^{6} \cdot 1 + x (6 u^{5} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$x^{6} y' + 6 y x^{5} + y^{6} \cdot 1 + x (6 y^{5} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x^{6} y' + 6 y x^{5} + y^{6} \cdot 1 + x (6 y^{5} y')$

Paso 2.3.5

Multiplica $y^{6}$ por $1$ .

$x^{6} y' + 6 y x^{5} + y^{6} + x (6 y^{5} y')$

Paso 2.3.6

Mueve $6$ a la izquierda de $x$ .

$x^{6} y' + 6 y x^{5} + y^{6} + 6 x y^{5} y'$

Paso 2.4

Reordena los términos.

$y^{6} + x^{6} y' + 6 x^{5} y + 6 y^{5} x y'$

Paso 3

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y^{6} + x^{6} y' + 6 x^{5} y + 6 y^{5} x y' = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1

Resta $y^{6}$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{6} y' + 6 x^{5} y + 6 y^{5} x y' = - y^{6}$

Paso 5.1.2

Resta $6 x^{5} y$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{6} y' + 6 y^{5} x y' = - y^{6} - 6 x^{5} y$

Paso 5.2

Factoriza $x y'$ de $x^{6} y' + 6 y^{5} x y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $x y'$ de $x^{6} y'$ .

$x y' x^{5} + 6 y^{5} x y' = - y^{6} - 6 x^{5} y$

Paso 5.2.2

Factoriza $x y'$ de $6 y^{5} x y'$ .

$x y' x^{5} + x y' (6 y^{5}) = - y^{6} - 6 x^{5} y$

Paso 5.2.3

Factoriza $x y'$ de $x y' x^{5} + x y' (6 y^{5})$ .

$x y' (x^{5} + 6 y^{5}) = - y^{6} - 6 x^{5} y$

Paso 5.3

Divide cada término en $x y' (x^{5} + 6 y^{5}) = - y^{6} - 6 x^{5} y$ por $x (x^{5} + 6 y^{5})$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $x y' (x^{5} + 6 y^{5}) = - y^{6} - 6 x^{5} y$ por $x (x^{5} + 6 y^{5})$ .

$\frac{x y' (x^{5} + 6 y^{5})}{x (x^{5} + 6 y^{5})} = \frac{- y^{6}}{x (x^{5} + 6 y^{5})} + \frac{- 6 x^{5} y}{x (x^{5} + 6 y^{5})}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y' (x^{5} + 6 y^{5})}{x (x^{5} + 6 y^{5})} = \frac{- y^{6}}{x (x^{5} + 6 y^{5})} + \frac{- 6 x^{5} y}{x (x^{5} + 6 y^{5})}$

Paso 5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (x^{5} + 6 y^{5})}{x^{5} + 6 y^{5}} = \frac{- y^{6}}{x (x^{5} + 6 y^{5})} + \frac{- 6 x^{5} y}{x (x^{5} + 6 y^{5})}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $x^{5} + 6 y^{5}$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (x^{5} + 6 y^{5})}{x^{5} + 6 y^{5}} = \frac{- y^{6}}{x (x^{5} + 6 y^{5})} + \frac{- 6 x^{5} y}{x (x^{5} + 6 y^{5})}$

Paso 5.3.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- y^{6}}{x (x^{5} + 6 y^{5})} + \frac{- 6 x^{5} y}{x (x^{5} + 6 y^{5})}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y^{6}}{x (x^{5} + 6 y^{5})} + \frac{- 6 x^{5} y}{x (x^{5} + 6 y^{5})}$

Paso 5.3.3.1.2

Cancela el factor común de $x^{5}$ y $x$ .

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Paso 5.3.3.1.2.1

Factoriza $x$ de $- 6 x^{5} y$ .

$y' = - \frac{y^{6}}{x (x^{5} + 6 y^{5})} + \frac{x (- 6 x^{4} y)}{x (x^{5} + 6 y^{5})}$

Paso 5.3.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.3.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$y' = - \frac{y^{6}}{x (x^{5} + 6 y^{5})} + \frac{x (- 6 x^{4} y)}{x (x^{5} + 6 y^{5})}$

Paso 5.3.3.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = - \frac{y^{6}}{x (x^{5} + 6 y^{5})} + \frac{- 6 x^{4} y}{x^{5} + 6 y^{5}}$

Paso 5.3.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y^{6}}{x (x^{5} + 6 y^{5})} - \frac{6 x^{4} y}{x^{5} + 6 y^{5}}$

Paso 5.3.3.2

Para escribir $- \frac{6 x^{4} y}{x^{5} + 6 y^{5}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{6}}{x (x^{5} + 6 y^{5})} - \frac{6 x^{4} y}{x^{5} + 6 y^{5}} \cdot \frac{x}{x}$

Paso 5.3.3.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $x (x^{5} + 6 y^{5})$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.3.3.3.1

Multiplica $\frac{6 x^{4} y}{x^{5} + 6 y^{5}}$ por $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{6}}{x (x^{5} + 6 y^{5})} - \frac{6 x^{4} y x}{(x^{5} + 6 y^{5}) x}$

Paso 5.3.3.3.2

Reordena los factores de $(x^{5} + 6 y^{5}) x$ .

$y' = - \frac{y^{6}}{x (x^{5} + 6 y^{5})} - \frac{6 x^{4} y x}{x (x^{5} + 6 y^{5})}$

Paso 5.3.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- y^{6} - 6 x^{4} y x}{x (x^{5} + 6 y^{5})}$

Paso 5.3.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.3.5.1

Factoriza $y$ de $- y^{6} - 6 x^{4} y x$ .

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Paso 5.3.3.5.1.1

Factoriza $y$ de $- y^{6}$ .

$y' = \frac{y (- y^{5}) - 6 x^{4} y x}{x (x^{5} + 6 y^{5})}$

Paso 5.3.3.5.1.2

Factoriza $y$ de $- 6 x^{4} y x$ .

$y' = \frac{y (- y^{5}) + y (- 6 x^{4} x)}{x (x^{5} + 6 y^{5})}$

Paso 5.3.3.5.1.3

Factoriza $y$ de $y (- y^{5}) + y (- 6 x^{4} x)$ .

$y' = \frac{y (- y^{5} - 6 x^{4} x)}{x (x^{5} + 6 y^{5})}$

Paso 5.3.3.5.2

Multiplica $x^{4}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.3.5.2.1

Mueve $x$ .

$y' = \frac{y (- y^{5} - 6 (x \cdot x^{4}))}{x (x^{5} + 6 y^{5})}$

Paso 5.3.3.5.2.2

Multiplica $x$ por $x^{4}$ .

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Paso 5.3.3.5.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y' = \frac{y (- y^{5} - 6 (x^{1} x^{4}))}{x (x^{5} + 6 y^{5})}$

Paso 5.3.3.5.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y' = \frac{y (- y^{5} - 6 x^{1 + 4})}{x (x^{5} + 6 y^{5})}$

Paso 5.3.3.5.2.3

Suma $1$ y $4$ .

$y' = \frac{y (- y^{5} - 6 x^{5})}{x (x^{5} + 6 y^{5})}$

Paso 5.3.3.6

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 5.3.3.6.1

Factoriza $- 1$ de $- y^{5}$ .

$y' = \frac{y (- (y^{5}) - 6 x^{5})}{x (x^{5} + 6 y^{5})}$

Paso 5.3.3.6.2

Factoriza $- 1$ de $- 6 x^{5}$ .

$y' = \frac{y (- (y^{5}) - (6 x^{5}))}{x (x^{5} + 6 y^{5})}$

Paso 5.3.3.6.3

Factoriza $- 1$ de $- (y^{5}) - (6 x^{5})$ .

$y' = \frac{y (- (y^{5} + 6 x^{5}))}{x (x^{5} + 6 y^{5})}$

Paso 5.3.3.6.4

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.3.6.4.1

Reescribe $- (y^{5} + 6 x^{5})$ como $- 1 (y^{5} + 6 x^{5})$ .

$y' = \frac{y (- 1 (y^{5} + 6 x^{5}))}{x (x^{5} + 6 y^{5})}$

Paso 5.3.3.6.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y (y^{5} + 6 x^{5})}{x (x^{5} + 6 y^{5})}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (y^{5} + 6 x^{5})}{x (x^{5} + 6 y^{5})}$