Cálculo Ejemplos

$x^{5} y^{7} - y = x$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{5} y^{7} - y) = \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{5} y^{7} - y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{5} y^{7}] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5} y^{7}] + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{5} y^{7}]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{5}$ y $g (x) = y^{7}$ .

$x^{5} \frac{d}{d x} [y^{7}] + y^{7} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{7}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$x^{5} (\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{7} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 7$ .

$x^{5} (7 u^{6} \frac{d}{d x} [y]) + y^{7} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$x^{5} (7 y^{6} \frac{d}{d x} [y]) + y^{7} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x^{5} (7 y^{6} y') + y^{7} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$x^{5} (7 y^{6} y') + y^{7} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 2.2.5

Mueve $7$ a la izquierda de $x^{5}$ .

$7 \cdot x^{5} y^{6} y' + y^{7} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 2.2.6

Mueve $5$ a la izquierda de $y^{7}$ .

$7 x^{5} y^{6} y' + 5 y^{7} x^{4} + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- y]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$7 x^{5} y^{6} y' + 5 y^{7} x^{4} - \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$7 x^{5} y^{6} y' + 5 y^{7} x^{4} - y'$

Paso 2.4

Reordena los términos.

$7 y^{6} x^{5} y' + 5 y^{7} x^{4} - y'$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$7 y^{6} x^{5} y' + 5 y^{7} x^{4} - y' = 1$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Resta $5 y^{7} x^{4}$ de ambos lados de la ecuación.

$7 y^{6} x^{5} y' - y' = 1 - 5 y^{7} x^{4}$

Paso 5.2

Factoriza $y'$ de $7 y^{6} x^{5} y' - y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $y'$ de $7 y^{6} x^{5} y'$ .

$y' (7 y^{6} x^{5}) - y' = 1 - 5 y^{7} x^{4}$

Paso 5.2.2

Factoriza $y'$ de $- y'$ .

$y' (7 y^{6} x^{5}) + y' \cdot - 1 = 1 - 5 y^{7} x^{4}$

Paso 5.2.3

Factoriza $y'$ de $y' (7 y^{6} x^{5}) + y' \cdot - 1$ .

$y' (7 y^{6} x^{5} - 1) = 1 - 5 y^{7} x^{4}$

Paso 5.3

Divide cada término en $y' (7 y^{6} x^{5} - 1) = 1 - 5 y^{7} x^{4}$ por $7 y^{6} x^{5} - 1$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $y' (7 y^{6} x^{5} - 1) = 1 - 5 y^{7} x^{4}$ por $7 y^{6} x^{5} - 1$ .

$\frac{y' (7 y^{6} x^{5} - 1)}{7 y^{6} x^{5} - 1} = \frac{1}{7 y^{6} x^{5} - 1} + \frac{- 5 y^{7} x^{4}}{7 y^{6} x^{5} - 1}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $7 y^{6} x^{5} - 1$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (7 y^{6} x^{5} - 1)}{7 y^{6} x^{5} - 1} = \frac{1}{7 y^{6} x^{5} - 1} + \frac{- 5 y^{7} x^{4}}{7 y^{6} x^{5} - 1}$

Paso 5.3.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{1}{7 y^{6} x^{5} - 1} + \frac{- 5 y^{7} x^{4}}{7 y^{6} x^{5} - 1}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{1 - 5 y^{7} x^{4}}{7 y^{6} x^{5} - 1}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - 5 y^{7} x^{4}}{7 y^{6} x^{5} - 1}$