Cálculo Ejemplos

$y = \frac{2}{3} \ln (1 + 3 \cos^{2} (x))$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{2}{3} \cdot \ln (1 + 3 \cos^{2} (x)))$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $\frac{2}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2}{3} \cdot \ln (1 + 3 \cos^{2} (x))$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\ln (1 + 3 \cos^{2} (x))]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\ln (1 + 3 \cos^{2} (x))]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 1 + 3 \cos^{2} (x)$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $1 + 3 \cos^{2} (x)$ .

$\frac{2}{3} (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [1 + 3 \cos^{2} (x)])$

Paso 3.2.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [1 + 3 \cos^{2} (x)])$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $1 + 3 \cos^{2} (x)$ .

$\frac{2}{3} (\frac{1}{1 + 3 \cos^{2} (x)} \frac{d}{d x} [1 + 3 \cos^{2} (x)])$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Multiplica $\frac{1}{1 + 3 \cos^{2} (x)}$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{(1 + 3 \cos^{2} (x)) \cdot 3} \frac{d}{d x} [1 + 3 \cos^{2} (x)]$

Paso 3.3.2

Mueve $3$ a la izquierda de $1 + 3 \cos^{2} (x)$ .

$\frac{2}{3 \cdot (1 + 3 \cos^{2} (x))} \frac{d}{d x} [1 + 3 \cos^{2} (x)]$

Paso 3.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + 3 \cos^{2} (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 \cos^{2} (x)]$ .

$\frac{2}{3 (1 + 3 \cos^{2} (x))} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 \cos^{2} (x)])$

Paso 3.3.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2}{3 (1 + 3 \cos^{2} (x))} (0 + \frac{d}{d x} [3 \cos^{2} (x)])$

Paso 3.3.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [3 \cos^{2} (x)]$ .

$\frac{2}{3 (1 + 3 \cos^{2} (x))} \frac{d}{d x} [3 \cos^{2} (x)]$

Paso 3.3.6

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 \cos^{2} (x)$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$\frac{2}{3 (1 + 3 \cos^{2} (x))} (3 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)])$

Paso 3.3.7

Simplifica los términos.

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Paso 3.3.7.1

Combina $3$ y $\frac{2}{3 (1 + 3 \cos^{2} (x))}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1 + 3 \cos^{2} (x))} \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Paso 3.3.7.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{6}{3 (1 + 3 \cos^{2} (x))} \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Paso 3.3.7.3

Cancela el factor común de $6$ y $3$ .

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Paso 3.3.7.3.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1 + 3 \cos^{2} (x))} \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Paso 3.3.7.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.7.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1 + 3 \cos^{2} (x))} \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Paso 3.3.7.3.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{1 + 3 \cos^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \cos (x)$ .

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Paso 3.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $\cos (x)$ .

$\frac{2}{1 + 3 \cos^{2} (x)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{2}{1 + 3 \cos^{2} (x)} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 3.4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\cos (x)$ .

$\frac{2}{1 + 3 \cos^{2} (x)} (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 3.5

Combina fracciones.

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Paso 3.5.1

Combina $2$ y $\frac{2}{1 + 3 \cos^{2} (x)}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{1 + 3 \cos^{2} (x)} (\cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 3.5.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4}{1 + 3 \cos^{2} (x)} (\cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 3.5.3

Combina $\cos (x)$ y $\frac{4}{1 + 3 \cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 4}{1 + 3 \cos^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 3.5.4

Mueve $4$ a la izquierda de $\cos (x)$ .

$\frac{4 \cdot \cos (x)}{1 + 3 \cos^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 3.6

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$\frac{4 \cos (x)}{1 + 3 \cos^{2} (x)} (- \sin (x))$

Paso 3.7

Combina $\frac{4 \cos (x)}{1 + 3 \cos^{2} (x)}$ y $\sin (x)$ .

$- \frac{4 \cos (x) \sin (x)}{1 + 3 \cos^{2} (x)}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = - \frac{4 \cos (x) \sin (x)}{1 + 3 \cos^{2} (x)}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 \cos (x) \sin (x)}{1 + 3 \cos^{2} (x)}$