Cálculo Ejemplos

$y = \frac{2 x + 1}{\sqrt{x}}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{2 x + 1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{2 x + 1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 3

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 2 x + 1$ y $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 1] - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 4.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 1] - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 4.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 1] - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 4.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 1] - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{1}}$

Paso 4.3

Simplifica.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 1] - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 4.4

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 4.5

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 4.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 4.7

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 4.8

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 + 0) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 4.9

Simplifica la expresión.

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Paso 4.9.1

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 4.9.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot x^{\frac{1}{2}} - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 4.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - (2 x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{x}$

Paso 4.11

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - (2 x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{x}$

Paso 4.12

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - (2 x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

Paso 4.13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - (2 x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

Paso 4.14

Simplifica el numerador.

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Paso 4.14.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - (2 x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{x}$

Paso 4.14.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - (2 x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{x}$

Paso 4.15

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - (2 x + 1) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{x}$

Paso 4.16

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - (2 x + 1) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{x}$

Paso 4.17

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - (2 x + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 4.18

Simplifica.

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Paso 4.18.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + (- (2 x) - 1 \cdot 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 4.18.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - (2 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 4.18.3

Simplifica el numerador.

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Paso 4.18.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.18.3.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.18.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $- (2 x)$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- (x)) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 4.18.3.1.1.2

Factoriza $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- (x)) \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}})} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 4.18.3.1.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- (x)) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 4.18.3.1.1.4

Reescribe la expresión.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - (x) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 4.18.3.1.2

Combina $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 4.18.3.1.3

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - (x \cdot x^{- \frac{1}{2}}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 4.18.3.1.4

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.18.3.1.4.1

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 4.18.3.1.4.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - (x^{1} x^{- \frac{1}{2}}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 4.18.3.1.4.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - x^{1 - \frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 4.18.3.1.4.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 4.18.3.1.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{2 - 1}{2}} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 4.18.3.1.4.4

Resta $1$ de $2$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 4.18.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 4.18.3.1.6

Reescribe $- 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ como $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 4.18.3.2

Resta $x^{\frac{1}{2}}$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 4.18.4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.18.4.1

Para escribir $x^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 4.18.4.2

Combina $x^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 4.18.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}}) - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 4.18.4.4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.18.4.4.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 4.18.4.4.2

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.18.4.4.2.1

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 4.18.4.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 4.18.4.4.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{2 x^{\frac{1 + 1}{2}} - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 4.18.4.4.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{2 x^{\frac{2}{2}} - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 4.18.4.4.2.5

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{\frac{2 x^{1} - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 4.18.4.4.3

Simplifica $2 x^{1}$ .

$\frac{\frac{2 x - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 4.18.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{2 x - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 4.18.6

Multiplica $\frac{2 x - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$ .

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Paso 4.18.6.1

Multiplica $\frac{2 x - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2 x - 1}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Paso 4.18.6.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 x - 1}{2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})}$

Paso 4.18.6.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x - 1}{2 x^{1 + \frac{1}{2}}}$

Paso 4.18.6.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{2 x - 1}{2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Paso 4.18.6.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 x - 1}{2 x^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Paso 4.18.6.6

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{2 x - 1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{2 x - 1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x - 1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$