Cálculo Ejemplos

$y = \frac{2 x^{2} - x}{x^{3} + 1}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{2 x^{2} - x}{x^{3} + 1})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 2 x^{2} - x$ y $g (x) = x^{3} + 1$ .

$\frac{(x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x] - (2 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{2} - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (2 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (2 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]) - (2 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (4 x + \frac{d}{d x} [- x]) - (2 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (4 x - \frac{d}{d x} [x]) - (2 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (4 x - 1 \cdot 1) - (2 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (4 x - 1) - (2 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.8

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (4 x - 1) - (2 x^{2} - x) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (4 x - 1) - (2 x^{2} - x) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.10

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (4 x - 1) - (2 x^{2} - x) (3 x^{2} + 0)}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.11

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.11.1

Suma $3 x^{2}$ y $0$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (4 x - 1) - (2 x^{2} - x) (3 x^{2})}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.11.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (4 x - 1) - 3 (2 x^{2} - x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x^{3} + 1) (4 x - 1) + (- 3 (2 x^{2}) - 3 (- x)) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x^{3} + 1) (4 x - 1) - 3 (2 x^{2}) x^{2} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.3.1.1

Expande $(x^{3} + 1) (4 x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.3.3.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{3} (4 x - 1) + 1 (4 x - 1) - 3 (2 x^{2}) x^{2} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.3.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{3} (4 x) + x^{3} \cdot - 1 + 1 (4 x - 1) - 3 (2 x^{2}) x^{2} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.3.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{3} (4 x) + x^{3} \cdot - 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1 - 3 (2 x^{2}) x^{2} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.3.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.3.1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{4 x^{3} x + x^{3} \cdot - 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1 - 3 (2 x^{2}) x^{2} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.3.1.2.2

Multiplica $x^{3}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.3.1.2.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{4 (x \cdot x^{3}) + x^{3} \cdot - 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1 - 3 (2 x^{2}) x^{2} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.3.1.2.2.2

Multiplica $x$ por $x^{3}$ .

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Paso 3.3.3.1.2.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4 (x^{1} x^{3}) + x^{3} \cdot - 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1 - 3 (2 x^{2}) x^{2} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.3.1.2.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4 x^{1 + 3} + x^{3} \cdot - 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1 - 3 (2 x^{2}) x^{2} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.3.1.2.2.3

Suma $1$ y $3$ .

$\frac{4 x^{4} + x^{3} \cdot - 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1 - 3 (2 x^{2}) x^{2} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.3.1.2.3

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{4} - 1 \cdot x^{3} + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1 - 3 (2 x^{2}) x^{2} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.3.1.2.4

Reescribe $- 1 x^{3}$ como $- x^{3}$ .

$\frac{4 x^{4} - x^{3} + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1 - 3 (2 x^{2}) x^{2} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.3.1.2.5

Multiplica $4 x$ por $1$ .

$\frac{4 x^{4} - x^{3} + 4 x + 1 \cdot - 1 - 3 (2 x^{2}) x^{2} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.3.1.2.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{4 x^{4} - x^{3} + 4 x - 1 - 3 (2 x^{2}) x^{2} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.3.1.3

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.3.1.3.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{4 x^{4} - x^{3} + 4 x - 1 - 3 (2 (x^{2} x^{2})) - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.3.1.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4 x^{4} - x^{3} + 4 x - 1 - 3 (2 x^{2 + 2}) - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.3.1.3.3

Suma $2$ y $2$ .

$\frac{4 x^{4} - x^{3} + 4 x - 1 - 3 (2 x^{4}) - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.3.1.4

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$\frac{4 x^{4} - x^{3} + 4 x - 1 - 6 x^{4} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.3.1.5

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.3.1.5.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{4 x^{4} - x^{3} + 4 x - 1 - 6 x^{4} - 3 (- (x^{2} x))}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.3.1.5.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 3.3.3.1.5.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4 x^{4} - x^{3} + 4 x - 1 - 6 x^{4} - 3 (- (x^{2} x^{1}))}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.3.1.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4 x^{4} - x^{3} + 4 x - 1 - 6 x^{4} - 3 (- x^{2 + 1})}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.3.1.5.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{4 x^{4} - x^{3} + 4 x - 1 - 6 x^{4} - 3 (- x^{3})}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.3.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$\frac{4 x^{4} - x^{3} + 4 x - 1 - 6 x^{4} + 3 x^{3}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.3.2

Resta $6 x^{4}$ de $4 x^{4}$ .

$\frac{- 2 x^{4} - x^{3} + 4 x - 1 + 3 x^{3}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.3.3

Suma $- x^{3}$ y $3 x^{3}$ .

$\frac{- 2 x^{4} + 2 x^{3} + 4 x - 1}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.4

Simplifica el denominador.

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Paso 3.3.4.1

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{- 2 x^{4} + 2 x^{3} + 4 x - 1}{{(x^{3} + 1^{3})}^{2}}$

Paso 3.3.4.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{- 2 x^{4} + 2 x^{3} + 4 x - 1}{{((x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}))}^{2}}$

Paso 3.3.4.3

Simplifica.

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Paso 3.3.4.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 2 x^{4} + 2 x^{3} + 4 x - 1}{{((x + 1) (x^{2} - x + 1^{2}))}^{2}}$

Paso 3.3.4.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{- 2 x^{4} + 2 x^{3} + 4 x - 1}{{((x + 1) (x^{2} - x + 1))}^{2}}$

Paso 3.3.4.4

Aplica la regla del producto a $(x + 1) (x^{2} - x + 1)$ .

$\frac{- 2 x^{4} + 2 x^{3} + 4 x - 1}{{(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.5

Factoriza $- 1$ de $- 2 x^{4}$ .

$\frac{- (2 x^{4}) + 2 x^{3} + 4 x - 1}{{(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.6

Factoriza $- 1$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{- (2 x^{4}) - (- 2 x^{3}) + 4 x - 1}{{(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.7

Factoriza $- 1$ de $- (2 x^{4}) - (- 2 x^{3})$ .

$\frac{- (2 x^{4} - 2 x^{3}) + 4 x - 1}{{(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.8

Factoriza $- 1$ de $4 x$ .

$\frac{- (2 x^{4} - 2 x^{3}) - (- 4 x) - 1}{{(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.9

Factoriza $- 1$ de $- (2 x^{4} - 2 x^{3}) - (- 4 x)$ .

$\frac{- (2 x^{4} - 2 x^{3} - 4 x) - 1}{{(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.10

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x^{4} - 2 x^{3} - 4 x) - 1 (1)}{{(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.11

Factoriza $- 1$ de $- (2 x^{4} - 2 x^{3} - 4 x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x^{4} - 2 x^{3} - 4 x + 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.12

Reescribe $- (2 x^{4} - 2 x^{3} - 4 x + 1)$ como $- 1 (2 x^{4} - 2 x^{3} - 4 x + 1)$ .

$\frac{- 1 (2 x^{4} - 2 x^{3} - 4 x + 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 x^{4} - 2 x^{3} - 4 x + 1}{{(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = - \frac{2 x^{4} - 2 x^{3} - 4 x + 1}{{(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x^{4} - 2 x^{3} - 4 x + 1}{{(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$