Cálculo Ejemplos

$y = {(\frac{6 x + 9}{6 x - 9})}^{4}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\frac{6 x + 9}{6 x - 9})}^{4})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $6 x + 9$ y $6 x - 9$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $3$ de $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{3 (2 x) + 9}{6 x - 9})}^{4}]$

Paso 3.1.2

Factoriza $3$ de $9$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{3 (2 x) + 3 (3)}{6 x - 9})}^{4}]$

Paso 3.1.3

Factoriza $3$ de $3 (2 x) + 3 (3)$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{3 (2 x + 3)}{6 x - 9})}^{4}]$

Paso 3.1.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.4.1

Factoriza $3$ de $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{3 (2 x + 3)}{3 (2 x) - 9})}^{4}]$

Paso 3.1.4.2

Factoriza $3$ de $- 9$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{3 (2 x + 3)}{3 (2 x) + 3 (- 3)})}^{4}]$

Paso 3.1.4.3

Factoriza $3$ de $3 (2 x) + 3 (- 3)$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{3 (2 x + 3)}{3 (2 x - 3)})}^{4}]$

Paso 3.1.4.4

Cancela el factor común.

$\frac{d}{d x} [{(\frac{3 (2 x + 3)}{3 (2 x - 3)})}^{4}]$

Paso 3.1.4.5

Reescribe la expresión.

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{4}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = \frac{2 x + 3}{2 x - 3}$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{2 x + 3}{2 x - 3}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 3}{2 x - 3}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 3}{2 x - 3}]$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{2 x + 3}{2 x - 3}$ .

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Paso 3.2.3.1

Factoriza $3$ de $6 x$ .

$4 {(\frac{3 (2 x) + 9}{6 x - 9})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 3}{2 x - 3}]$

Paso 3.2.3.2

Factoriza $3$ de $9$ .

$4 {(\frac{3 (2 x) + 3 (3)}{6 x - 9})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 3}{2 x - 3}]$

Paso 3.2.3.3

Factoriza $3$ de $3 (2 x) + 3 (3)$ .

$4 {(\frac{3 (2 x + 3)}{6 x - 9})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 3}{2 x - 3}]$

Paso 3.2.3.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.3.4.1

Factoriza $3$ de $6 x$ .

$4 {(\frac{3 (2 x + 3)}{3 (2 x) - 9})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 3}{2 x - 3}]$

Paso 3.2.3.4.2

Factoriza $3$ de $- 9$ .

$4 {(\frac{3 (2 x + 3)}{3 (2 x) + 3 (- 3)})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 3}{2 x - 3}]$

Paso 3.2.3.4.3

Factoriza $3$ de $3 (2 x) + 3 (- 3)$ .

$4 {(\frac{3 (2 x + 3)}{3 (2 x - 3)})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 3}{2 x - 3}]$

Paso 3.2.3.4.4

Cancela el factor común.

$4 {(\frac{3 (2 x + 3)}{3 (2 x - 3)})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 3}{2 x - 3}]$

Paso 3.2.3.4.5

Reescribe la expresión.

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 3}{2 x - 3}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 2 x + 3$ y $g (x) = 2 x - 3$ .

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{(2 x - 3) \frac{d}{d x} [2 x + 3] - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [2 x - 3]}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Paso 3.4

Diferencia.

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Paso 3.4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{(2 x - 3) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [2 x - 3]}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Paso 3.4.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{(2 x - 3) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [2 x - 3]}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Paso 3.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{(2 x - 3) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [2 x - 3]}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Paso 3.4.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{(2 x - 3) (2 + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [2 x - 3]}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Paso 3.4.5

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{(2 x - 3) (2 + 0) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [2 x - 3]}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Paso 3.4.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.4.6.1

Suma $2$ y $0$ .

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{(2 x - 3) \cdot 2 - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [2 x - 3]}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Paso 3.4.6.2

Mueve $2$ a la izquierda de $2 x - 3$ .

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{2 \cdot (2 x - 3) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [2 x - 3]}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Paso 3.4.7

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{2 (2 x - 3) - (2 x + 3) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Paso 3.4.8

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{2 (2 x - 3) - (2 x + 3) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Paso 3.4.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{2 (2 x - 3) - (2 x + 3) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Paso 3.4.10

Multiplica $2$ por $1$ .

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{2 (2 x - 3) - (2 x + 3) (2 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Paso 3.4.11

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{2 (2 x - 3) - (2 x + 3) (2 + 0)}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Paso 3.4.12

Combina fracciones.

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Paso 3.4.12.1

Suma $2$ y $0$ .

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{2 (2 x - 3) - (2 x + 3) \cdot 2}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Paso 3.4.12.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{2 (2 x - 3) - 2 (2 x + 3)}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Paso 3.4.12.3

Combina $\frac{2 (2 x - 3) - 2 (2 x + 3)}{{(2 x - 3)}^{2}}$ y $4$ .

$\frac{(2 (2 x - 3) - 2 (2 x + 3)) \cdot 4}{{(2 x - 3)}^{2}} {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3}$

Paso 3.4.12.4

Mueve $4$ a la izquierda de $2 (2 x - 3) - 2 (2 x + 3)$ .

$\frac{4 \cdot (2 (2 x - 3) - 2 (2 x + 3))}{{(2 x - 3)}^{2}} {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3}$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Aplica la regla del producto a $\frac{2 x + 3}{2 x - 3}$ .

$\frac{4 (2 (2 x - 3) - 2 (2 x + 3))}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

Paso 3.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 (2 (2 x) + 2 \cdot - 3 - 2 (2 x + 3))}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

Paso 3.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 (2 (2 x) + 2 \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot 3)}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

Paso 3.5.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 (2 (2 x)) + 4 (2 \cdot - 3) + 4 (- 2 (2 x)) + 4 (- 2 \cdot 3)}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

Paso 3.5.5

Combina los términos.

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Paso 3.5.5.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 (4 x) + 4 (2 \cdot - 3) + 4 (- 2 (2 x)) + 4 (- 2 \cdot 3)}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

Paso 3.5.5.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{16 x + 4 (2 \cdot - 3) + 4 (- 2 (2 x)) + 4 (- 2 \cdot 3)}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

Paso 3.5.5.3

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$\frac{16 x + 4 \cdot - 6 + 4 (- 2 (2 x)) + 4 (- 2 \cdot 3)}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

Paso 3.5.5.4

Multiplica $4$ por $- 6$ .

$\frac{16 x - 24 + 4 (- 2 (2 x)) + 4 (- 2 \cdot 3)}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

Paso 3.5.5.5

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{16 x - 24 + 4 (- 4 x) + 4 (- 2 \cdot 3)}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

Paso 3.5.5.6

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$\frac{16 x - 24 - 16 x + 4 (- 2 \cdot 3)}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

Paso 3.5.5.7

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$\frac{16 x - 24 - 16 x + 4 \cdot - 6}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

Paso 3.5.5.8

Multiplica $4$ por $- 6$ .

$\frac{16 x - 24 - 16 x - 24}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

Paso 3.5.5.9

Resta $16 x$ de $16 x$ .

$\frac{0 - 24 - 24}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

Paso 3.5.5.10

Resta $24$ de $0$ .

$\frac{- 24 - 24}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

Paso 3.5.5.11

Resta $24$ de $- 24$ .

$\frac{- 48}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

Paso 3.5.5.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{48}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

Paso 3.5.5.13

Multiplica $\frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$ por $\frac{48}{{(2 x - 3)}^{2}}$ .

$- \frac{{(2 x + 3)}^{3} \cdot 48}{{(2 x - 3)}^{3} {(2 x - 3)}^{2}}$

Paso 3.5.5.14

Multiplica ${(2 x - 3)}^{3}$ por ${(2 x - 3)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.5.5.14.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{{(2 x + 3)}^{3} \cdot 48}{{(2 x - 3)}^{3 + 2}}$

Paso 3.5.5.14.2

Suma $3$ y $2$ .

$- \frac{{(2 x + 3)}^{3} \cdot 48}{{(2 x - 3)}^{5}}$

Paso 3.5.5.15

Mueve $48$ a la izquierda de ${(2 x + 3)}^{3}$ .

$- \frac{48 {(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{5}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = - \frac{48 {(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{5}}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{48 {(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{5}}$