Cálculo Ejemplos

$x^{2} (x - y) = y^{2} (x + y)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{2} (x - y)) = \frac{d}{d x} (y^{2} (x + y))$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x - y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [x - y] + (x - y) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]) + (x - y) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- y]) + (x - y) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.2.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$x^{2} (1 - \frac{d}{d x} [y]) + (x - y) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x^{2} (1 - y') + (x - y) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} (1 - y') + (x - y) (2 x)$

Paso 2.5

Mueve $2$ a la izquierda de $x - y$ .

$x^{2} (1 - y') + 2 \cdot (x - y) x$

Paso 2.6

Simplifica.

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Paso 2.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- y') + 2 (x - y) x$

Paso 2.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- y') + (2 x + 2 (- y)) x$

Paso 2.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- y') + 2 x \cdot x + 2 (- y) x$

Paso 2.6.4

Combina los términos.

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Paso 2.6.4.1

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + x^{2} (- y') + 2 x \cdot x + 2 (- y) x$

Paso 2.6.4.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{2} + x^{2} (- y') + 2 (x^{1} x) + 2 (- y) x$

Paso 2.6.4.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{2} + x^{2} (- y') + 2 (x^{1} x^{1}) + 2 (- y) x$

Paso 2.6.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{2} + x^{2} (- y') + 2 x^{1 + 1} + 2 (- y) x$

Paso 2.6.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$x^{2} + x^{2} (- y') + 2 x^{2} + 2 (- y) x$

Paso 2.6.4.6

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x^{2} + x^{2} (- y') + 2 x^{2} - 2 y x$

Paso 2.6.4.7

Suma $x^{2}$ y $2 x^{2}$ .

$3 x^{2} + x^{2} (- y') - 2 y x$

Paso 2.6.5

Reordena los términos.

$3 x^{2} - x^{2} y' - 2 x y$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = y^{2}$ y $g (x) = x + y$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [x + y] + (x + y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$y^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) + (x + y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y^{2} (1 + \frac{d}{d x} [y]) + (x + y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y^{2} (1 + y') + (x + y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$y^{2} (1 + y') + (x + y) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$y^{2} (1 + y') + (x + y) (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$y^{2} (1 + y') + (x + y) (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.5

Mueve $2$ a la izquierda de $x + y$ .

$y^{2} (1 + y') + 2 \cdot (x + y) y \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.6

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y^{2} (1 + y') + 2 (x + y) y y'$

Paso 3.7

Simplifica.

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Paso 3.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} \cdot 1 + y^{2} y' + 2 (x + y) y y'$

Paso 3.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} \cdot 1 + y^{2} y' + (2 x + 2 y) y y'$

Paso 3.7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} \cdot 1 + y^{2} y' + (2 x y + 2 y \cdot y) y'$

Paso 3.7.4

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} \cdot 1 + y^{2} y' + 2 x y y' + 2 y \cdot y y'$

Paso 3.7.5

Combina los términos.

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Paso 3.7.5.1

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} + y^{2} y' + 2 x y y' + 2 y \cdot y y'$

Paso 3.7.5.2

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$y^{2} + y^{2} y' + 2 x y y' + 2 (y^{1} y) y'$

Paso 3.7.5.3

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$y^{2} + y^{2} y' + 2 x y y' + 2 (y^{1} y^{1}) y'$

Paso 3.7.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y^{2} + y^{2} y' + 2 x y y' + 2 y^{1 + 1} y'$

Paso 3.7.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$y^{2} + y^{2} y' + 2 x y y' + 2 y^{2} y'$

Paso 3.7.5.6

Suma $y^{2} y'$ y $2 y^{2} y'$ .

$y^{2} + 3 y^{2} y' + 2 x y y'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$3 x^{2} - x^{2} y' - 2 x y = y^{2} + 3 y^{2} y' + 2 x y y'$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Como $y'$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$y^{2} + 3 y^{2} y' + 2 x y y' = 3 x^{2} - x^{2} y' - 2 x y$

Paso 5.2

Suma $x^{2} y'$ a ambos lados de la ecuación.

$y^{2} + 3 y^{2} y' + 2 x y y' + x^{2} y' = 3 x^{2} - 2 x y$

Paso 5.3

Resta $y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$3 y^{2} y' + 2 x y y' + x^{2} y' = 3 x^{2} - 2 x y - y^{2}$

Paso 5.4

Factoriza $y'$ de $3 y^{2} y' + 2 x y y' + x^{2} y'$ .

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Paso 5.4.1

Factoriza $y'$ de $3 y^{2} y'$ .

$y' (3 y^{2}) + 2 x y y' + x^{2} y' = 3 x^{2} - 2 x y - y^{2}$

Paso 5.4.2

Factoriza $y'$ de $2 x y y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (2 x y) + x^{2} y' = 3 x^{2} - 2 x y - y^{2}$

Paso 5.4.3

Factoriza $y'$ de $x^{2} y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (2 x y) + y' (x^{2}) = 3 x^{2} - 2 x y - y^{2}$

Paso 5.4.4

Factoriza $y'$ de $y' (3 y^{2}) + y' (2 x y)$ .

$y' (3 y^{2} + 2 x y) + y' (x^{2}) = 3 x^{2} - 2 x y - y^{2}$

Paso 5.4.5

Factoriza $y'$ de $y' (3 y^{2} + 2 x y) + y' (x^{2})$ .

$y' (3 y^{2} + 2 x y + x^{2}) = 3 x^{2} - 2 x y - y^{2}$

Paso 5.5

Divide cada término en $y' (3 y^{2} + 2 x y + x^{2}) = 3 x^{2} - 2 x y - y^{2}$ por $3 y^{2} + 2 x y + x^{2}$ y simplifica.

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Paso 5.5.1

Divide cada término en $y' (3 y^{2} + 2 x y + x^{2}) = 3 x^{2} - 2 x y - y^{2}$ por $3 y^{2} + 2 x y + x^{2}$ .

$\frac{y' (3 y^{2} + 2 x y + x^{2})}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} + \frac{- 2 x y}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} + \frac{- y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Paso 5.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.1

Cancela el factor común de $3 y^{2} + 2 x y + x^{2}$ .

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Paso 5.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (3 y^{2} + 2 x y + x^{2})}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} + \frac{- 2 x y}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} + \frac{- y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Paso 5.5.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} + \frac{- 2 x y}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} + \frac{- y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Paso 5.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.5.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} - \frac{(2) x y}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} + \frac{- y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Paso 5.5.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} - \frac{2 x y}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} - \frac{y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Paso 5.5.3.2

Combina en una fracción.

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Paso 5.5.3.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{3 x^{2} - 2 x y}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} - \frac{y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Paso 5.5.3.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{3 x^{2} - 2 x y - y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Paso 5.5.3.3

Factoriza por agrupación.

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Paso 5.5.3.3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ y cuya suma es $b = - 2$ .

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Paso 5.5.3.3.1.1

Reordena los términos.

$y' = \frac{3 x^{2} - y^{2} - 2 x y}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Paso 5.5.3.3.1.2

Reordena $- y^{2}$ y $- 2 x y$ .

$y' = \frac{3 x^{2} - 2 x y - y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Paso 5.5.3.3.1.3

Factoriza $- 2$ de $- 2 x y$ .

$y' = \frac{3 x^{2} - 2 (x y) - y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Paso 5.5.3.3.1.4

Reescribe $- 2$ como $1$ más $- 3$

$y' = \frac{3 x^{2} + (1 - 3) (x y) - y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Paso 5.5.3.3.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$y' = \frac{3 x^{2} + 1 (x y) - 3 (x y) - y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Paso 5.5.3.3.1.6

Multiplica $x y$ por $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2} + x y - 3 (x y) - y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Paso 5.5.3.3.1.7

Mueve los paréntesis.

$y' = \frac{3 x^{2} + x y - 3 x y - y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Paso 5.5.3.3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 5.5.3.3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$y' = \frac{(3 x^{2} + x y) - 3 x y - y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Paso 5.5.3.3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$y' = \frac{x (3 x + y) - y (3 x + y)}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Paso 5.5.3.3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 x + y$ .

$y' = \frac{(3 x + y) (x - y)}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(3 x + y) (x - y)}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$