Cálculo Ejemplos

$y = (9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} ((9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x})$

Paso 2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = 9 x^{2} - 18 x + 18$ y $g (y) = e^{x}$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) \frac{d}{d y} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d y} [9 x^{2} - 18 x + 18]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = e^{y}$ y $g (y) = x$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d y} [x]) + e^{x} \frac{d}{d y} [9 x^{2} - 18 x + 18]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) (e^{u_{1}} \frac{d}{d y} [x]) + e^{x} \frac{d}{d y} [9 x^{2} - 18 x + 18]$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) (e^{x} \frac{d}{d y} [x]) + e^{x} \frac{d}{d y} [9 x^{2} - 18 x + 18]$

Paso 3.3

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} x' + e^{x} \frac{d}{d y} [9 x^{2} - 18 x + 18]$

Paso 3.4

Diferencia.

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Paso 3.4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $9 x^{2} - 18 x + 18$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [9 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 18 x] + \frac{d}{d y} [18]$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} x' + e^{x} (\frac{d}{d y} [9 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 18 x] + \frac{d}{d y} [18])$

Paso 3.4.2

Como $9$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $9 x^{2}$ con respecto a $y$ es $9 \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} x' + e^{x} (9 \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 18 x] + \frac{d}{d y} [18])$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{2}$ y $g (y) = x$ .

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Paso 3.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} x' + e^{x} (9 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 18 x] + \frac{d}{d y} [18])$

Paso 3.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} x' + e^{x} (9 (2 u_{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 18 x] + \frac{d}{d y} [18])$

Paso 3.5.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} x' + e^{x} (9 (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 18 x] + \frac{d}{d y} [18])$

Paso 3.6

Multiplica $2$ por $9$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} x' + e^{x} (18 (x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 18 x] + \frac{d}{d y} [18])$

Paso 3.7

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} x' + e^{x} (18 x x' + \frac{d}{d y} [- 18 x] + \frac{d}{d y} [18])$

Paso 3.8

Como $- 18$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 18 x$ con respecto a $y$ es $- 18 \frac{d}{d y} [x]$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} x' + e^{x} (18 x x' - 18 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [18])$

Paso 3.9

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} x' + e^{x} (18 x x' - 18 x' + \frac{d}{d y} [18])$

Paso 3.10

Como $18$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $18$ con respecto a $y$ es $0$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} x' + e^{x} (18 x x' - 18 x' + 0)$

Paso 3.11

Suma $18 x x' - 18 x'$ y $0$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} x' + e^{x} (18 x x' - 18 x')$

Paso 3.12

Simplifica.

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Paso 3.12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(9 x^{2} e^{x} - 18 x e^{x} + 18 e^{x}) x' + e^{x} (18 x x' - 18 x')$

Paso 3.12.2

Aplica la propiedad distributiva.

$9 x^{2} e^{x} x' - 18 x e^{x} x' + 18 e^{x} x' + e^{x} (18 x x' - 18 x')$

Paso 3.12.3

Aplica la propiedad distributiva.

$9 x^{2} e^{x} x' - 18 x e^{x} x' + 18 e^{x} x' + e^{x} (18 x x') + e^{x} (- 18 x')$

Paso 3.12.4

Combina los términos.

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Paso 3.12.4.1

Suma $- 18 x e^{x} x'$ y $e^{x} (18 x x')$ .

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Paso 3.12.4.1.1

Mueve $e^{x}$ .

$9 x^{2} e^{x} x' + 18 e^{x} x' - 18 x e^{x} x' + 18 x e^{x} x' + e^{x} (- 18 x')$

Paso 3.12.4.1.2

Suma $- 18 x e^{x} x'$ y $18 x e^{x} x'$ .

$9 x^{2} e^{x} x' + 18 e^{x} x' + 0 + e^{x} (- 18 x')$

Paso 3.12.4.2

Suma $9 x^{2} e^{x} x' + 18 e^{x} x'$ y $0$ .

$9 x^{2} e^{x} x' + 18 e^{x} x' + e^{x} (- 18 x')$

Paso 3.12.4.3

Suma $18 e^{x} x'$ y $e^{x} (- 18 x')$ .

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Paso 3.12.4.3.1

Reordena $e^{x}$ y $- 18$ .

$9 x^{2} e^{x} x' + 18 e^{x} x' - 18 \cdot e^{x} x'$

Paso 3.12.4.3.2

Resta $18 \cdot e^{x} x'$ de $18 e^{x} x'$ .

$9 x^{2} e^{x} x' + 0$

Paso 3.12.4.4

Suma $9 x^{2} e^{x} x'$ y $0$ .

$9 x^{2} e^{x} x'$

Paso 3.12.5

Reordena los factores de $9 x^{2} e^{x} x'$ .

$9 e^{x} x^{2} x'$

Paso 3.12.6

Reordena los factores en $9 e^{x} x^{2} x'$ .

$9 x^{2} e^{x} x'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$1 = 9 x^{2} e^{x} x'$

Paso 5

Resuelve $x'$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $9 x^{2} e^{x} x' = 1$ .

$9 x^{2} e^{x} x' = 1$

Paso 5.2

Divide cada término en $9 x^{2} e^{x} x' = 1$ por $9 x^{2} e^{x}$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $9 x^{2} e^{x} x' = 1$ por $9 x^{2} e^{x}$ .

$\frac{9 x^{2} e^{x} x'}{9 x^{2} e^{x}} = \frac{1}{9 x^{2} e^{x}}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 x^{2} e^{x} x'}{9 x^{2} e^{x}} = \frac{1}{9 x^{2} e^{x}}$

Paso 5.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{2} e^{x} x'}{x^{2} e^{x}} = \frac{1}{9 x^{2} e^{x}}$

Paso 5.2.2.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} e^{x} x'}{x^{2} e^{x}} = \frac{1}{9 x^{2} e^{x}}$

Paso 5.2.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{e^{x} x'}{e^{x}} = \frac{1}{9 x^{2} e^{x}}$

Paso 5.2.2.3

Cancela el factor común de $e^{x}$ .

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Paso 5.2.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{x} x'}{e^{x}} = \frac{1}{9 x^{2} e^{x}}$

Paso 5.2.2.3.2

Divide $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{1}{9 x^{2} e^{x}}$

Paso 6

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{9 x^{2} e^{x}}$