Cálculo Ejemplos

$y = \frac{1}{x + 2}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{1}{x + 2})$

Paso 2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ es $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ donde $f (y) = 1$ y $g (y) = x + 2$ .

$\frac{(x + 2) \frac{d}{d y} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{(x + 2) \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 3.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 0 - \frac{d}{d y} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 3.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.3.1

Multiplica $x + 2$ por $0$ .

$\frac{0 - \frac{d}{d y} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 3.2.3.2

Resta $\frac{d}{d y} [x + 2]$ de $0$ .

$\frac{- \frac{d}{d y} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 3.2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{\frac{d}{d y} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 3.2.4

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$- \frac{\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 3.3

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$- \frac{x' + \frac{d}{d y} [2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 3.4

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2$ con respecto a $y$ es $0$ .

$- \frac{x' + 0}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 3.5

Suma $x'$ y $0$ .

$- \frac{x'}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$1 = - \frac{x'}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 5

Resuelve $x'$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $- \frac{x'}{{(x + 2)}^{2}} = 1$ .

$- \frac{x'}{{(x + 2)}^{2}} = 1$

Paso 5.2

Divide cada término en $- \frac{x'}{{(x + 2)}^{2}} = 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $- \frac{x'}{{(x + 2)}^{2}} = 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \frac{x'}{{(x + 2)}^{2}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\frac{x'}{{(x + 2)}^{2}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Paso 5.2.2.2

Divide $\frac{x'}{{(x + 2)}^{2}}$ por $1$ .

$\frac{x'}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{1}{- 1}$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

Divide $1$ por $- 1$ .

$\frac{x'}{{(x + 2)}^{2}} = - 1$

Paso 5.3

Multiplica ambos lados por ${(x + 2)}^{2}$ .

$\frac{x'}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = - {(x + 2)}^{2}$

Paso 5.4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.1

Cancela el factor común de ${(x + 2)}^{2}$ .

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Paso 5.4.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x'}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = - {(x + 2)}^{2}$

Paso 5.4.1.2

Reescribe la expresión.

$x' = - {(x + 2)}^{2}$

Paso 5.5

Simplifica $- {(x + 2)}^{2}$ .

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Paso 5.5.1

Reescribe ${(x + 2)}^{2}$ como $(x + 2) (x + 2)$ .

$x' = - ((x + 2) (x + 2))$

Paso 5.5.2

Expande $(x + 2) (x + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x' = - (x (x + 2) + 2 (x + 2))$

Paso 5.5.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x' = - (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2))$

Paso 5.5.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x' = - (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)$

Paso 5.5.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.5.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x' = - (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)$

Paso 5.5.3.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$x' = - (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2)$

Paso 5.5.3.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$x' = - (x^{2} + 2 x + 2 x + 4)$

Paso 5.5.3.2

Suma $2 x$ y $2 x$ .

$x' = - (x^{2} + 4 x + 4)$

Paso 5.5.4

Aplica la propiedad distributiva.

$x' = - x^{2} - (4 x) - 1 \cdot 4$

Paso 5.5.5

Simplifica.

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Paso 5.5.5.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$x' = - x^{2} - 4 x - 1 \cdot 4$

Paso 5.5.5.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$x' = - x^{2} - 4 x - 4$

Paso 6

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - x^{2} - 4 x - 4$