Cálculo Ejemplos

$y = \sqrt{x} (x - 14)$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = x^{\frac{1}{2}} (x - 14)$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x^{\frac{1}{2}} (x - 14))$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (y) = x - 14$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x - 14] + (x - 14) \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 14$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 14]$ .

$x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 14]) + (x - 14) \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.3

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$x^{\frac{1}{2}} (x' + \frac{d}{d y} [- 14]) + (x - 14) \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.4.1

Como $- 14$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 14$ con respecto a $y$ es $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} (x' + 0) + (x - 14) \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.4.2

Suma $x'$ y $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} x' + (x - 14) \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ y $g (y) = x$ .

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Paso 4.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x$ .

$x^{\frac{1}{2}} x' + (x - 14) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [x])$

Paso 4.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} x' + (x - 14) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x])$

Paso 4.5.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$x^{\frac{1}{2}} x' + (x - 14) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x])$

Paso 4.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} x' + (x - 14) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Paso 4.7

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} x' + (x - 14) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Paso 4.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x^{\frac{1}{2}} x' + (x - 14) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Paso 4.9

Simplifica el numerador.

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Paso 4.9.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} x' + (x - 14) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Paso 4.9.2

Resta $2$ de $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} x' + (x - 14) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Paso 4.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{\frac{1}{2}} x' + (x - 14) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Paso 4.11

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} x' + (x - 14) (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [x])$

Paso 4.12

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} x' + (x - 14) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x])$

Paso 4.13

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$x^{\frac{1}{2}} x' + (x - 14) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} x'$

Paso 4.14

Combina $x'$ y $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} x' + (x - 14) \frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.15

Simplifica.

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Paso 4.15.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{\frac{1}{2}} x' + x \frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 14 \frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.15.2

Combina los términos.

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Paso 4.15.2.1

Combina $x$ y $\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} x' + \frac{x x'}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 14 \frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.15.2.2

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$x^{\frac{1}{2}} x' + \frac{x x' x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 14 \frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.15.2.3

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.15.2.3.1

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} x' + \frac{x^{- \frac{1}{2}} x x'}{2} - 14 \frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.15.2.3.2

Multiplica $x^{- \frac{1}{2}}$ por $x$ .

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Paso 4.15.2.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} x' + \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{1} x'}{2} - 14 \frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.15.2.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{\frac{1}{2}} x' + \frac{x^{- \frac{1}{2} + 1} x'}{2} - 14 \frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.15.2.3.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$x^{\frac{1}{2}} x' + \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x'}{2} - 14 \frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.15.2.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x^{\frac{1}{2}} x' + \frac{x^{\frac{- 1 + 2}{2}} x'}{2} - 14 \frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.15.2.3.5

Suma $- 1$ y $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} x' + \frac{x^{\frac{1}{2}} x'}{2} - 14 \frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.15.2.4

Combina $- 14$ y $\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} x' + \frac{x^{\frac{1}{2}} x'}{2} + \frac{- 14 x'}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.15.2.5

Factoriza $2$ de $- 14 x'$ .

$x^{\frac{1}{2}} x' + \frac{x^{\frac{1}{2}} x'}{2} + \frac{2 (- 7 x')}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.15.2.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.15.2.6.1

Factoriza $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} x' + \frac{x^{\frac{1}{2}} x'}{2} + \frac{2 (- 7 x')}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Paso 4.15.2.6.2

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{2}} x' + \frac{x^{\frac{1}{2}} x'}{2} + \frac{2 (- 7 x')}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.15.2.6.3

Reescribe la expresión.

$x^{\frac{1}{2}} x' + \frac{x^{\frac{1}{2}} x'}{2} + \frac{- 7 x'}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.15.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{\frac{1}{2}} x' + \frac{x^{\frac{1}{2}} x'}{2} - \frac{7 x'}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$1 = x^{\frac{1}{2}} x' + \frac{x^{\frac{1}{2}} x'}{2} - \frac{7 x'}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6

Resuelve $x'$

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $x^{\frac{1}{2}} x' + \frac{x^{\frac{1}{2}} x'}{2} - \frac{7 x'}{x^{\frac{1}{2}}} = 1$ .

$x^{\frac{1}{2}} x' + \frac{x^{\frac{1}{2}} x'}{2} - \frac{7 x'}{x^{\frac{1}{2}}} = 1$

Paso 6.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 6.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, 2, x^{\frac{1}{2}}, 1$

Paso 6.2.2

Since $1, 2, x^{\frac{1}{2}}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 2, 1, 1$ then find LCM for the variable part $x^{\frac{1}{2}}$ .

Paso 6.2.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 6.2.4

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 6.2.5

Como $2$ no tiene factores además de $1$ y $2$ .

$2$ es un número primo

Paso 6.2.6

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 6.2.7

El MCM de $1, 2, 1, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$2$

Paso 6.2.8

El MCM de $x^{\frac{1}{2}}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$x^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.2.9

El MCM para $1, 2, x^{\frac{1}{2}}, 1$ es la parte numérica $2$ multiplicada por la parte variable.

$2 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.3

Multiplica cada término en $x^{\frac{1}{2}} x' + \frac{x^{\frac{1}{2}} x'}{2} - \frac{7 x'}{x^{\frac{1}{2}}} = 1$ por $2 x^{\frac{1}{2}}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 6.3.1

Multiplica cada término en $x^{\frac{1}{2}} x' + \frac{x^{\frac{1}{2}} x'}{2} - \frac{7 x'}{x^{\frac{1}{2}}} = 1$ por $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} x' (2 x^{\frac{1}{2}}) + \frac{x^{\frac{1}{2}} x'}{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{7 x'}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 x^{\frac{1}{2}} x' x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} x'}{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{7 x'}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.2.1.2

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.3.2.1.2.1

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) x' + \frac{x^{\frac{1}{2}} x'}{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{7 x'}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.2.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} x' + \frac{x^{\frac{1}{2}} x'}{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{7 x'}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.2.1.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 x^{\frac{1 + 1}{2}} x' + \frac{x^{\frac{1}{2}} x'}{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{7 x'}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.2.1.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$2 x^{\frac{2}{2}} x' + \frac{x^{\frac{1}{2}} x'}{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{7 x'}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.2.1.2.5

Divide $2$ por $2$ .

$2 x^{1} x' + \frac{x^{\frac{1}{2}} x'}{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{7 x'}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.2.1.3

Simplifica $2 x^{1} x'$ .

$2 x x' + \frac{x^{\frac{1}{2}} x'}{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{7 x'}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 x x' + 2 \frac{x^{\frac{1}{2}} x'}{2} x^{\frac{1}{2}} - \frac{7 x'}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.2.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.2.1.5.1

Cancela el factor común.

$2 x x' + 2 \frac{x^{\frac{1}{2}} x'}{2} x^{\frac{1}{2}} - \frac{7 x'}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.2.1.5.2

Reescribe la expresión.

$2 x x' + x^{\frac{1}{2}} x' x^{\frac{1}{2}} - \frac{7 x'}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.2.1.6

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.3.2.1.6.1

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x x' + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} x' - \frac{7 x'}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.2.1.6.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 x x' + x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} x' - \frac{7 x'}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.2.1.6.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 x x' + x^{\frac{1 + 1}{2}} x' - \frac{7 x'}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.2.1.6.4

Suma $1$ y $1$ .

$2 x x' + x^{\frac{2}{2}} x' - \frac{7 x'}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.2.1.6.5

Divide $2$ por $2$ .

$2 x x' + x^{1} x' - \frac{7 x'}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.2.1.7

Simplifica $x^{1} x'$ .

$2 x x' + x x' - \frac{7 x'}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.2.1.8

Cancela el factor común de $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 6.3.2.1.8.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{7 x'}{x^{\frac{1}{2}}}$ al numerador.

$2 x x' + x x' + \frac{- 7 x'}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.2.1.8.2

Factoriza $x^{\frac{1}{2}}$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x x' + x x' + \frac{- 7 x'}{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} \cdot 2) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.2.1.8.3

Cancela el factor común.

$2 x x' + x x' + \frac{- 7 x'}{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} \cdot 2) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.2.1.8.4

Reescribe la expresión.

$2 x x' + x x' - 7 x' \cdot 2 = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.2.1.9

Multiplica $2$ por $- 7$ .

$2 x x' + x x' - 14 x' = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.2.2

Suma $2 x x'$ y $x x'$ .

$3 x x' - 14 x' = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.3.1

Multiplica $2 x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$3 x x' - 14 x' = 2 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 6.4.1

Factoriza $x'$ de $3 x x' - 14 x'$ .

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Paso 6.4.1.1

Factoriza $x'$ de $3 x x'$ .

$x' (3 x) - 14 x' = 2 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.4.1.2

Factoriza $x'$ de $- 14 x'$ .

$x' (3 x) + x' \cdot - 14 = 2 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.4.1.3

Factoriza $x'$ de $x' (3 x) + x' \cdot - 14$ .

$x' (3 x - 14) = 2 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.4.2

Divide cada término en $x' (3 x - 14) = 2 x^{\frac{1}{2}}$ por $3 x - 14$ y simplifica.

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Paso 6.4.2.1

Divide cada término en $x' (3 x - 14) = 2 x^{\frac{1}{2}}$ por $3 x - 14$ .

$\frac{x' (3 x - 14)}{3 x - 14} = \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{3 x - 14}$

Paso 6.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.4.2.2.1

Cancela el factor común de $3 x - 14$ .

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Paso 6.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x' (3 x - 14)}{3 x - 14} = \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{3 x - 14}$

Paso 6.4.2.2.1.2

Divide $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{3 x - 14}$

Paso 7

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{3 x - 14}$