Cálculo Ejemplos

$\sin (x y) = 1 + \cos (y)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} (\sin (x y)) = \frac{d}{d y} (1 + \cos (y))$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = \sin (y)$ y $g (y) = x y$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d y} [x y]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d y} [x y]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x y$ .

$\cos (x y) \frac{d}{d y} [x y]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = x$ y $g (y) = y$ .

$\cos (x y) (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x])$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\cos (x y) (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x])$

Paso 2.3.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\cos (x y) (x + y \frac{d}{d y} [x])$

Paso 2.4

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$\cos (x y) (x + y x')$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\cos (x y) x + \cos (x y) (y x')$

Paso 2.5.2

Reordena los términos.

$x \cos (x y) + y \cos (x y) x'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia.

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Paso 3.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + \cos (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\cos (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\cos (y)]$

Paso 3.1.2

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\cos (y)]$

Paso 3.2

La derivada de $\cos (y)$ con respecto a $y$ es $- \sin (y)$ .

$0 - \sin (y)$

Paso 3.3

Resta $\sin (y)$ de $0$ .

$- \sin (y)$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$x \cos (x y) + y \cos (x y) x' = - \sin (y)$

Paso 5

Resuelve $x'$

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Paso 5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.1

Reordena los factores en $x \cos (x y) + y \cos (x y) x'$ .

$x \cos (x y) + y x' \cos (x y) = - \sin (y)$

Paso 5.2

Resta $x \cos (x y)$ de ambos lados de la ecuación.

$y x' \cos (x y) = - \sin (y) - x \cos (x y)$

Paso 5.3

Divide cada término en $y x' \cos (x y) = - \sin (y) - x \cos (x y)$ por $y \cos (x y)$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $y x' \cos (x y) = - \sin (y) - x \cos (x y)$ por $y \cos (x y)$ .

$\frac{y x' \cos (x y)}{y \cos (x y)} = \frac{- \sin (y)}{y \cos (x y)} + \frac{- x \cos (x y)}{y \cos (x y)}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y x' \cos (x y)}{y \cos (x y)} = \frac{- \sin (y)}{y \cos (x y)} + \frac{- x \cos (x y)}{y \cos (x y)}$

Paso 5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x' \cos (x y)}{\cos (x y)} = \frac{- \sin (y)}{y \cos (x y)} + \frac{- x \cos (x y)}{y \cos (x y)}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $\cos (x y)$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x' \cos (x y)}{\cos (x y)} = \frac{- \sin (y)}{y \cos (x y)} + \frac{- x \cos (x y)}{y \cos (x y)}$

Paso 5.3.2.2.2

Divide $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{- \sin (y)}{y \cos (x y)} + \frac{- x \cos (x y)}{y \cos (x y)}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1.1

Separa las fracciones.

$x' = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (x y)} + \frac{- x \cos (x y)}{y \cos (x y)}$

Paso 5.3.3.1.2

Reescribe $\frac{\sin (y)}{\cos (x y)}$ como un producto.

$x' = \frac{- 1}{y} (\sin (y) \frac{1}{\cos (x y)}) + \frac{- x \cos (x y)}{y \cos (x y)}$

Paso 5.3.3.1.3

Escribe $\sin (y)$ como una fracción con el denominador $1$ .

$x' = \frac{- 1}{y} (\frac{\sin (y)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x y)}) + \frac{- x \cos (x y)}{y \cos (x y)}$

Paso 5.3.3.1.4

Simplifica.

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Paso 5.3.3.1.4.1

Divide $\sin (y)$ por $1$ .

$x' = \frac{- 1}{y} (\sin (y) \frac{1}{\cos (x y)}) + \frac{- x \cos (x y)}{y \cos (x y)}$

Paso 5.3.3.1.4.2

Convierte de $\frac{1}{\cos (x y)}$ a $\sec (x y)$ .

$x' = \frac{- 1}{y} (\sin (y) \sec (x y)) + \frac{- x \cos (x y)}{y \cos (x y)}$

Paso 5.3.3.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x' = - \frac{1}{y} (\sin (y) \sec (x y)) + \frac{- x \cos (x y)}{y \cos (x y)}$

Paso 5.3.3.1.6

Multiplica $- \frac{1}{y} (\sin (y) \sec (x y))$ .

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Paso 5.3.3.1.6.1

Combina $\sin (y)$ y $\frac{1}{y}$ .

$x' = - \frac{\sin (y)}{y} \sec (x y) + \frac{- x \cos (x y)}{y \cos (x y)}$

Paso 5.3.3.1.6.2

Combina $\sec (x y)$ y $\frac{\sin (y)}{y}$ .

$x' = - \frac{\sec (x y) \sin (y)}{y} + \frac{- x \cos (x y)}{y \cos (x y)}$

Paso 5.3.3.1.7

Cancela el factor común de $\cos (x y)$ .

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Paso 5.3.3.1.7.1

Cancela el factor común.

$x' = - \frac{\sec (x y) \sin (y)}{y} + \frac{- x \cos (x y)}{y \cos (x y)}$

Paso 5.3.3.1.7.2

Reescribe la expresión.

$x' = - \frac{\sec (x y) \sin (y)}{y} + \frac{- x}{y}$

Paso 5.3.3.1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x' = - \frac{\sec (x y) \sin (y)}{y} - \frac{x}{y}$

Paso 6

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{\sec (x y) \sin (y)}{y} - \frac{x}{y}$