Cálculo Ejemplos

$z = \frac{A}{y^{9}} + B e^{y}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d B} (z) = \frac{d}{d B} (\frac{A}{y^{9}} + B e^{y})$

Paso 2

Como $z$ es constante con respecto a $B$ , la derivada de $z$ con respecto a $B$ es $0$ .

$0$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{A}{y^{9}} + B e^{y}$ con respecto a $B$ es $\frac{d}{d B} [\frac{A}{y^{9}}] + \frac{d}{d B} [B e^{y}]$ .

$\frac{d}{d B} [\frac{A}{y^{9}}] + \frac{d}{d B} [B e^{y}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d B} [\frac{A}{y^{9}}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $A$ es constante con respecto a $B$ , la derivada de $\frac{A}{y^{9}}$ con respecto a $B$ es $A \frac{d}{d B} [\frac{1}{y^{9}}]$ .

$A \frac{d}{d B} [\frac{1}{y^{9}}] + \frac{d}{d B} [B e^{y}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d B} [\frac{f (B)}{g (B)}]$ es $\frac{g (B) \frac{d}{d B} [f (B)] - f (B) \frac{d}{d B} [g (B)]}{{g (B)}^{2}}$ donde $f (B) = 1$ y $g (B) = y^{9}$ .

$A \frac{y^{9} \frac{d}{d B} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d B} [y^{9}]}{{(y^{9})}^{2}} + \frac{d}{d B} [B e^{y}]$

Paso 3.2.3

Como $1$ es constante con respecto a $B$ , la derivada de $1$ con respecto a $B$ es $0$ .

$A \frac{y^{9} \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d B} [y^{9}]}{{(y^{9})}^{2}} + \frac{d}{d B} [B e^{y}]$

Paso 3.2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d B} [f (g (B))]$ es $f' (g (B)) g' (B)$ donde $f (B) = B^{9}$ y $g (B) = y$ .

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Paso 3.2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $y$ .

$A \frac{y^{9} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{9}] \frac{d}{d B} [y])}{{(y^{9})}^{2}} + \frac{d}{d B} [B e^{y}]$

Paso 3.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 9$ .

$A \frac{y^{9} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (9 {u_{1}}^{8} \frac{d}{d B} [y])}{{(y^{9})}^{2}} + \frac{d}{d B} [B e^{y}]$

Paso 3.2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y$ .

$A \frac{y^{9} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (9 y^{8} \frac{d}{d B} [y])}{{(y^{9})}^{2}} + \frac{d}{d B} [B e^{y}]$

Paso 3.2.5

Reescribe $\frac{d}{d B} [y]$ como $y'$ .

$A \frac{y^{9} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (9 y^{8} y')}{{(y^{9})}^{2}} + \frac{d}{d B} [B e^{y}]$

Paso 3.2.6

Multiplica $y^{9}$ por $0$ .

$A \frac{0 - 1 \cdot 1 (9 y^{8} y')}{{(y^{9})}^{2}} + \frac{d}{d B} [B e^{y}]$

Paso 3.2.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$A \frac{0 - (9 y^{8} y')}{{(y^{9})}^{2}} + \frac{d}{d B} [B e^{y}]$

Paso 3.2.8

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$A \frac{0 - 9 (y^{8} y')}{{(y^{9})}^{2}} + \frac{d}{d B} [B e^{y}]$

Paso 3.2.9

Resta $9 y^{8} y'$ de $0$ .

$A \frac{- 9 y^{8} y'}{{(y^{9})}^{2}} + \frac{d}{d B} [B e^{y}]$

Paso 3.2.10

Multiplica los exponentes en ${(y^{9})}^{2}$ .

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Paso 3.2.10.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A \frac{- 9 y^{8} y'}{y^{9 \cdot 2}} + \frac{d}{d B} [B e^{y}]$

Paso 3.2.10.2

Multiplica $9$ por $2$ .

$A \frac{- 9 y^{8} y'}{y^{18}} + \frac{d}{d B} [B e^{y}]$

Paso 3.2.11

Cancela el factor común de $y^{8}$ y $y^{18}$ .

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Paso 3.2.11.1

Factoriza $y^{8}$ de $- 9 y^{8} y'$ .

$A \frac{y^{8} (- 9 y')}{y^{18}} + \frac{d}{d B} [B e^{y}]$

Paso 3.2.11.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.11.2.1

Factoriza $y^{8}$ de $y^{18}$ .

$A \frac{y^{8} (- 9 y')}{y^{8} y^{10}} + \frac{d}{d B} [B e^{y}]$

Paso 3.2.11.2.2

Cancela el factor común.

$A \frac{y^{8} (- 9 y')}{y^{8} y^{10}} + \frac{d}{d B} [B e^{y}]$

Paso 3.2.11.2.3

Reescribe la expresión.

$A \frac{- 9 y'}{y^{10}} + \frac{d}{d B} [B e^{y}]$

Paso 3.2.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$A (- \frac{9 y'}{y^{10}}) + \frac{d}{d B} [B e^{y}]$

Paso 3.2.13

Combina $A$ y $\frac{9 y'}{y^{10}}$ .

$- \frac{A (9 y')}{y^{10}} + \frac{d}{d B} [B e^{y}]$

Paso 3.2.14

Mueve $9$ a la izquierda de $A$ .

$- \frac{9 A y'}{y^{10}} + \frac{d}{d B} [B e^{y}]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d B} [B e^{y}]$ .

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Paso 3.3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d B} [f (B) g (B)]$ es $f (B) \frac{d}{d B} [g (B)] + g (B) \frac{d}{d B} [f (B)]$ donde $f (B) = B$ y $g (B) = e^{y}$ .

$- \frac{9 A y'}{y^{10}} + B \frac{d}{d B} [e^{y}] + e^{y} \frac{d}{d B} [B]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d B} [f (g (B))]$ es $f' (g (B)) g' (B)$ donde $f (B) = e^{B}$ y $g (B) = y$ .

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Paso 3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $y$ .

$- \frac{9 A y'}{y^{10}} + B (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d B} [y]) + e^{y} \frac{d}{d B} [B]$

Paso 3.3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$- \frac{9 A y'}{y^{10}} + B (e^{u_{2}} \frac{d}{d B} [y]) + e^{y} \frac{d}{d B} [B]$

Paso 3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y$ .

$- \frac{9 A y'}{y^{10}} + B (e^{y} \frac{d}{d B} [y]) + e^{y} \frac{d}{d B} [B]$

Paso 3.3.3

Reescribe $\frac{d}{d B} [y]$ como $y'$ .

$- \frac{9 A y'}{y^{10}} + B (e^{y} y') + e^{y} \frac{d}{d B} [B]$

Paso 3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d B} [B^{n}]$ es $n B^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{9 A y'}{y^{10}} + B (e^{y} y') + e^{y} \cdot 1$

Paso 3.3.5

Multiplica $e^{y}$ por $1$ .

$- \frac{9 A y'}{y^{10}} + B e^{y} y' + e^{y}$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Reordena los términos.

$e^{y} B y' - \frac{9 A y'}{y^{10}} + e^{y}$

Paso 3.4.2

Reordena los factores en $e^{y} B y' - \frac{9 A y'}{y^{10}} + e^{y}$ .

$B e^{y} y' - \frac{9 A y'}{y^{10}} + e^{y}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$0 = B e^{y} y' - \frac{9 A y'}{y^{10}} + e^{y}$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $B e^{y} y' - \frac{9 A y'}{y^{10}} + e^{y} = 0$ .

$B e^{y} y' - \frac{9 A y'}{y^{10}} + e^{y} = 0$

Paso 5.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 5.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, y^{10}, 1, 1$

Paso 5.2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$y^{10}$

Paso 5.3

Multiplica cada término en $B e^{y} y' - \frac{9 A y'}{y^{10}} + e^{y} = 0$ por $y^{10}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 5.3.1

Multiplica cada término en $B e^{y} y' - \frac{9 A y'}{y^{10}} + e^{y} = 0$ por $y^{10}$ .

$B e^{y} y' y^{10} - \frac{9 A y'}{y^{10}} y^{10} + e^{y} y^{10} = 0 y^{10}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $y^{10}$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{9 A y'}{y^{10}}$ al numerador.

$B e^{y} y' y^{10} + \frac{- 9 A y'}{y^{10}} y^{10} + e^{y} y^{10} = 0 y^{10}$

Paso 5.3.2.1.2

Cancela el factor común.

$B e^{y} y' y^{10} + \frac{- 9 A y'}{y^{10}} y^{10} + e^{y} y^{10} = 0 y^{10}$

Paso 5.3.2.1.3

Reescribe la expresión.

$B e^{y} y' y^{10} - 9 A y' + e^{y} y^{10} = 0 y^{10}$

Paso 5.3.2.2

Reordena los factores en $B e^{y} y' y^{10} - 9 A y' + e^{y} y^{10}$ .

$B y' y^{10} e^{y} - 9 A y' + y^{10} e^{y} = 0 y^{10}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Multiplica $0$ por $y^{10}$ .

$B y' y^{10} e^{y} - 9 A y' + y^{10} e^{y} = 0$

Paso 5.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 5.4.1

Resta $y^{10} e^{y}$ de ambos lados de la ecuación.

$B y' y^{10} e^{y} - 9 A y' = - y^{10} e^{y}$

Paso 5.4.2

Factoriza $y'$ de $B y' y^{10} e^{y} - 9 A y'$ .

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Paso 5.4.2.1

Factoriza $y'$ de $B y' y^{10} e^{y}$ .

$y' (B y^{10} e^{y}) - 9 A y' = - y^{10} e^{y}$

Paso 5.4.2.2

Factoriza $y'$ de $- 9 A y'$ .

$y' (B y^{10} e^{y}) + y' (- 9 A) = - y^{10} e^{y}$

Paso 5.4.2.3

Factoriza $y'$ de $y' (B y^{10} e^{y}) + y' (- 9 A)$ .

$y' (B y^{10} e^{y} - 9 A) = - y^{10} e^{y}$

Paso 5.4.3

Divide cada término en $y' (B y^{10} e^{y} - 9 A) = - y^{10} e^{y}$ por $B y^{10} e^{y} - 9 A$ y simplifica.

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Paso 5.4.3.1

Divide cada término en $y' (B y^{10} e^{y} - 9 A) = - y^{10} e^{y}$ por $B y^{10} e^{y} - 9 A$ .

$\frac{y' (B y^{10} e^{y} - 9 A)}{B y^{10} e^{y} - 9 A} = \frac{- y^{10} e^{y}}{B y^{10} e^{y} - 9 A}$

Paso 5.4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.3.2.1

Cancela el factor común de $B y^{10} e^{y} - 9 A$ .

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Paso 5.4.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (B y^{10} e^{y} - 9 A)}{B y^{10} e^{y} - 9 A} = \frac{- y^{10} e^{y}}{B y^{10} e^{y} - 9 A}$

Paso 5.4.3.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- y^{10} e^{y}}{B y^{10} e^{y} - 9 A}$

Paso 5.4.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y^{10} e^{y}}{B y^{10} e^{y} - 9 A}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d B}$ .

$\frac{d y}{d B} = - \frac{y^{10} e^{y}}{B y^{10} e^{y} - 9 A}$