Cálculo Ejemplos

${(y + x)}^{2} = \ln (y)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} ({(y + x)}^{2}) = \frac{d}{d x} (\ln (y))$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Reescribe ${(y + x)}^{2}$ como $(y + x) (y + x)$ .

$\frac{d}{d x} [(y + x) (y + x)]$

Paso 2.2

Expande $(y + x) (y + x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [y (y + x) + x (y + x)]$

Paso 2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [y \cdot y + y x + x (y + x)]$

Paso 2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [y \cdot y + y x + x y + x \cdot x]$

Paso 2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.1

Multiplica $y$ por $y$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} + y x + x y + x \cdot x]$

Paso 2.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} + y x + x y + x^{2}]$

Paso 2.3.2

Suma $y x$ y $x y$ .

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Paso 2.3.2.1

Reordena $y$ y $x$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} + x y + x y + x^{2}]$

Paso 2.3.2.2

Suma $x y$ y $x y$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} + 2 x y + x^{2}]$

Paso 2.4

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{2} + 2 x y + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.5.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.6

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.7

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x y$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 y y' + 2 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.8

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$2 y y' + 2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.9

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 y y' + 2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 y y' + 2 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.11

Multiplica $y$ por $1$ .

$2 y y' + 2 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 y y' + 2 (x y' + y) + 2 x$

Paso 2.13

Simplifica.

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Paso 2.13.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 y y' + 2 (x y') + 2 y + 2 x$

Paso 2.13.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 y y' + 2 x y' + 2 y + 2 x$

Paso 2.13.3

Reordena los términos.

$2 y y' + 2 x y' + 2 x + 2 y$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{1}{y} y'$

Paso 3.3

Combina $\frac{1}{y}$ y $y'$ .

$\frac{y'}{y}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$2 y y' + 2 x y' + 2 x + 2 y = \frac{y'}{y}$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Multiplica ambos lados por $y$ .

$(2 y y' + 2 x y' + 2 x + 2 y) y = \frac{y'}{y} y$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1.1

Simplifica $(2 y y' + 2 x y' + 2 x + 2 y) y$ .

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Paso 5.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 y y' y + 2 x y' y + 2 x y + 2 y \cdot y = \frac{y'}{y} y$

Paso 5.2.1.1.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1.1.2.1

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.1.1.2.1.1

Mueve $y$ .

$2 (y \cdot y) y' + 2 x y' y + 2 x y + 2 y \cdot y = \frac{y'}{y} y$

Paso 5.2.1.1.2.1.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$2 y^{2} y' + 2 x y' y + 2 x y + 2 y \cdot y = \frac{y'}{y} y$

Paso 5.2.1.1.2.2

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.1.1.2.2.1

Mueve $y$ .

$2 y^{2} y' + 2 x y' y + 2 x y + 2 (y \cdot y) = \frac{y'}{y} y$

Paso 5.2.1.1.2.2.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$2 y^{2} y' + 2 x y' y + 2 x y + 2 y^{2} = \frac{y'}{y} y$

Paso 5.2.1.1.3

Mueve $y^{2}$ .

$2 y' y^{2} + 2 x y' y + 2 x y + 2 y^{2} = \frac{y'}{y} y$

Paso 5.2.1.1.4

Mueve $x$ .

$2 y' y^{2} + 2 y' x y + 2 x y + 2 y^{2} = \frac{y'}{y} y$

Paso 5.2.1.1.5

Reordena $2 y' y^{2}$ y $2 y' x y$ .

$2 y' x y + 2 y' y^{2} + 2 x y + 2 y^{2} = \frac{y'}{y} y$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$2 y' x y + 2 y' y^{2} + 2 x y + 2 y^{2} = \frac{y'}{y} y$

Paso 5.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$2 y' x y + 2 y' y^{2} + 2 x y + 2 y^{2} = y'$

Paso 5.3

Resuelve $y'$

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Paso 5.3.1

Resta $y'$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y' x y + 2 y' y^{2} + 2 x y + 2 y^{2} - y' = 0$

Paso 5.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.3.2.1

Resta $2 x y$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y' x y + 2 y' y^{2} + 2 y^{2} - y' = - 2 x y$

Paso 5.3.2.2

Resta $2 y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y' x y + 2 y' y^{2} - y' = - 2 x y - 2 y^{2}$

Paso 5.3.3

Factoriza $y'$ de $2 y' x y + 2 y' y^{2} - y'$ .

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Paso 5.3.3.1

Factoriza $y'$ de $2 y' x y$ .

$y' (2 x y) + 2 y' y^{2} - y' = - 2 x y - 2 y^{2}$

Paso 5.3.3.2

Factoriza $y'$ de $2 y' y^{2}$ .

$y' (2 x y) + y' (2 y^{2}) - y' = - 2 x y - 2 y^{2}$

Paso 5.3.3.3

Factoriza $y'$ de $- y'$ .

$y' (2 x y) + y' (2 y^{2}) + y' \cdot - 1 = - 2 x y - 2 y^{2}$

Paso 5.3.3.4

Factoriza $y'$ de $y' (2 x y) + y' (2 y^{2})$ .

$y' (2 x y + 2 y^{2}) + y' \cdot - 1 = - 2 x y - 2 y^{2}$

Paso 5.3.3.5

Factoriza $y'$ de $y' (2 x y + 2 y^{2}) + y' \cdot - 1$ .

$y' (2 x y + 2 y^{2} - 1) = - 2 x y - 2 y^{2}$

Paso 5.3.4

Divide cada término en $y' (2 x y + 2 y^{2} - 1) = - 2 x y - 2 y^{2}$ por $2 x y + 2 y^{2} - 1$ y simplifica.

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Paso 5.3.4.1

Divide cada término en $y' (2 x y + 2 y^{2} - 1) = - 2 x y - 2 y^{2}$ por $2 x y + 2 y^{2} - 1$ .

$\frac{y' (2 x y + 2 y^{2} - 1)}{2 x y + 2 y^{2} - 1} = \frac{- 2 x y}{2 x y + 2 y^{2} - 1} + \frac{- 2 y^{2}}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$

Paso 5.3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.4.2.1

Cancela el factor común de $2 x y + 2 y^{2} - 1$ .

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Paso 5.3.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (2 x y + 2 y^{2} - 1)}{2 x y + 2 y^{2} - 1} = \frac{- 2 x y}{2 x y + 2 y^{2} - 1} + \frac{- 2 y^{2}}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$

Paso 5.3.4.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 x y}{2 x y + 2 y^{2} - 1} + \frac{- 2 y^{2}}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$

Paso 5.3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.4.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- 2 x y - 2 y^{2}}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$

Paso 5.3.4.3.2

Factoriza $2 y$ de $- 2 x y - 2 y^{2}$ .

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Paso 5.3.4.3.2.1

Factoriza $2 y$ de $- 2 x y$ .

$y' = \frac{2 y (- x) - 2 y^{2}}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$

Paso 5.3.4.3.2.2

Factoriza $2 y$ de $- 2 y^{2}$ .

$y' = \frac{2 y (- x) + 2 y (- y)}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$

Paso 5.3.4.3.2.3

Factoriza $2 y$ de $2 y (- x) + 2 y (- y)$ .

$y' = \frac{2 y (- x - y)}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$

Paso 5.3.4.3.3

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$y' = \frac{2 y (- (x) - y)}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$

Paso 5.3.4.3.4

Factoriza $- 1$ de $- y$ .

$y' = \frac{2 y (- (x) - (y))}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$

Paso 5.3.4.3.5

Factoriza $- 1$ de $- (x) - (y)$ .

$y' = \frac{2 y (- (x + y))}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$

Paso 5.3.4.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.4.3.6.1

Reescribe $- (x + y)$ como $- 1 (x + y)$ .

$y' = \frac{2 y (- 1 (x + y))}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$

Paso 5.3.4.3.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{(2 y) (x + y)}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{(2 y) (x + y)}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$