Cálculo Ejemplos

$\sum_{k = 5}^{13} \frac{5 - 2 k}{8}$

Paso 1

Divide la suma para hacer que el valor inicial de $k$ sea igual a $1$ .

$\sum_{k = 5}^{13} \frac{5}{8} - \frac{k}{4} = \sum_{k = 1}^{13} \frac{5}{8} - \frac{k}{4} - \sum_{k = 1}^{4} \frac{5}{8} - \frac{k}{4}$

Paso 2

Evalúa $\sum_{k = 1}^{13} \frac{5}{8} - \frac{k}{4}$ .

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Paso 2.1

Divide la suma en sumas más pequeñas de acuerdo con la reglas de suma.

$\sum_{k = 1}^{13} \frac{5}{8} - \frac{k}{4} = \sum_{k = 1}^{13} \frac{5}{8} + \sum_{k = 1}^{13} - \frac{k}{4}$

Paso 2.2

Evalúa $\sum_{k = 1}^{13} \frac{5}{8}$ .

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Paso 2.2.1

La fórmula para la suma de una constante es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Paso 2.2.2

Sustituye los valores en la fórmula.

$(\frac{5}{8}) (13)$

Paso 2.2.3

Multiplica $(\frac{5}{8}) (13)$ .

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Paso 2.2.3.1

Combina $\frac{5}{8}$ y $13$ .

$\frac{5 \cdot 13}{8}$

Paso 2.2.3.2

Multiplica $5$ por $13$ .

$\frac{65}{8}$

Paso 2.3

Evalúa $\sum_{k = 1}^{13} - \frac{k}{4}$ .

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Paso 2.3.1

Factoriza $- \frac{1}{4}$ fuera de la suma.

$(- \frac{1}{4}) \sum_{k = 1}^{13} k$

Paso 2.3.2

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $1$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Paso 2.3.3

Sustituye los valores en la fórmula y asegúrate de multiplicar por el término frontal.

$(- \frac{1}{4}) (\frac{13 (13 + 1)}{2})$

Paso 2.3.4

Simplifica.

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Paso 2.3.4.1

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.4.1.1

Suma $13$ y $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{13 \cdot 14}{2}$

Paso 2.3.4.1.2

Multiplica $13$ por $14$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{182}{2}$

Paso 2.3.4.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.4.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{4}$ al numerador.

$\frac{- 1}{4} \cdot \frac{182}{2}$

Paso 2.3.4.2.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{- 1}{2 (2)} \cdot \frac{182}{2}$

Paso 2.3.4.2.3

Factoriza $2$ de $182$ .

$\frac{- 1}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 91}{2}$

Paso 2.3.4.2.4

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 91}{2}$

Paso 2.3.4.2.5

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{2} \cdot \frac{91}{2}$

Paso 2.3.4.3

Multiplica $\frac{- 1}{2}$ por $\frac{91}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 91}{2 \cdot 2}$

Paso 2.3.4.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.4.4.1

Multiplica $- 1$ por $91$ .

$\frac{- 91}{2 \cdot 2}$

Paso 2.3.4.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{- 91}{4}$

Paso 2.3.4.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{91}{4}$

Paso 2.4

Suma los resultados de las sumas.

$\frac{65}{8} - \frac{91}{4}$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Para escribir $- \frac{91}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{65}{8} - \frac{91}{4} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 2.5.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $8$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.5.2.1

Multiplica $\frac{91}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{65}{8} - \frac{91 \cdot 2}{4 \cdot 2}$

Paso 2.5.2.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{65}{8} - \frac{91 \cdot 2}{8}$

Paso 2.5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{65 - 91 \cdot 2}{8}$

Paso 2.5.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.4.1

Multiplica $- 91$ por $2$ .

$\frac{65 - 182}{8}$

Paso 2.5.4.2

Resta $182$ de $65$ .

$\frac{- 117}{8}$

Paso 2.5.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{117}{8}$

Paso 3

Evalúa $\sum_{k = 1}^{4} \frac{5}{8} - \frac{k}{4}$ .

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Paso 3.1

Expande la serie para cada valor de $k$ .

$\frac{5}{8} - \frac{1}{4} + \frac{5}{8} - \frac{2}{4} + \frac{5}{8} - \frac{3}{4} + \frac{5}{8} - \frac{4}{4}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{5 + 5 + 5 + 5}{8} + \frac{- 1 - 2 - 3 - 4}{4}$

Paso 3.2.2

Suma $5$ y $5$ .

$\frac{10 + 5 + 5}{8} + \frac{- 1 - 2 - 3 - 4}{4}$

Paso 3.2.3

Suma $10$ y $5$ .

$\frac{15 + 5}{8} + \frac{- 1 - 2 - 3 - 4}{4}$

Paso 3.2.4

Suma $15$ y $5$ .

$\frac{20}{8} + \frac{- 1 - 2 - 3 - 4}{4}$

Paso 3.2.5

Resta $2$ de $- 1$ .

$\frac{20}{8} + \frac{- 3 - 3 - 4}{4}$

Paso 3.2.6

Resta $3$ de $- 3$ .

$\frac{20}{8} + \frac{- 6 - 4}{4}$

Paso 3.2.7

Resta $4$ de $- 6$ .

$\frac{20}{8} + \frac{- 10}{4}$

Paso 3.2.8

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.8.1

Cancela el factor común de $20$ y $8$ .

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Paso 3.2.8.1.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$\frac{4 (5)}{8} + \frac{- 10}{4}$

Paso 3.2.8.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.8.1.2.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$\frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 2} + \frac{- 10}{4}$

Paso 3.2.8.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 2} + \frac{- 10}{4}$

Paso 3.2.8.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{5}{2} + \frac{- 10}{4}$

Paso 3.2.8.2

Cancela el factor común de $- 10$ y $4$ .

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Paso 3.2.8.2.1

Factoriza $2$ de $- 10$ .

$\frac{5}{2} + \frac{2 (- 5)}{4}$

Paso 3.2.8.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.8.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{5}{2} + \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 2}$

Paso 3.2.8.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{5}{2} + \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 2}$

Paso 3.2.8.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{5}{2} + \frac{- 5}{2}$

Paso 3.2.8.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{5}{2} - \frac{5}{2}$

Paso 3.2.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{5 - 5}{2}$

Paso 3.2.10

Resta $5$ de $5$ .

$\frac{0}{2}$

Paso 3.2.11

Divide $0$ por $2$ .

$0$

Paso 4

Reemplaza las sumas con los valores obtenidos.

$- \frac{117}{8} - 0$

Paso 5

Resta $0$ de $- \frac{117}{8}$ .

$- \frac{117}{8}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{117}{8}$

Forma decimal:

$- 14.625$

Forma de número mixto:

$- 14 \frac{5}{8}$