Cálculo Ejemplos

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 4)}^{n - 1}}{8^{n}}$

Paso 1

La suma de una serie geométrica infinita se puede obtener mediante la fórmula $\frac{a}{1 - r}$ donde $a$ es el primer término y $r$ es la razón entre los términos sucesivos.

Paso 2

Obtén la razón de los términos sucesivos mediante la inserción en la fórmula $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ y la simplificación.

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Paso 2.1

Sustituye $a_{n}$ y $a_{n + 1}$ en la fórmula por $r$ .

$r = \frac{\frac{{(- 4)}^{n + 1 - 1}}{8^{n + 1}}}{\frac{{(- 4)}^{n - 1}}{8^{n}}}$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$r = \frac{{(- 4)}^{n + 1 - 1}}{8^{n + 1}} \cdot \frac{8^{n}}{{(- 4)}^{n - 1}}$

Paso 2.2.2

Combinar.

$r = \frac{{(- 4)}^{n + 1 - 1} \cdot 8^{n}}{8^{n + 1} {(- 4)}^{n - 1}}$

Paso 2.2.3

Cancela el factor común de ${(- 4)}^{n + 1 - 1}$ y ${(- 4)}^{n - 1}$ .

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Paso 2.2.3.1

Factoriza ${(- 4)}^{n - 1}$ de ${(- 4)}^{n + 1 - 1} \cdot 8^{n}$ .

$r = \frac{{(- 4)}^{n - 1} ({(- 4)}^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n})}{8^{n + 1} {(- 4)}^{n - 1}}$

Paso 2.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.3.2.1

Factoriza ${(- 4)}^{n - 1}$ de $8^{n + 1} {(- 4)}^{n - 1}$ .

$r = \frac{{(- 4)}^{n - 1} ({(- 4)}^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n})}{{(- 4)}^{n - 1} \cdot 8^{n + 1}}$

Paso 2.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$r = \frac{{(- 4)}^{n - 1} ({(- 4)}^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n})}{{(- 4)}^{n - 1} \cdot 8^{n + 1}}$

Paso 2.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$r = \frac{{(- 4)}^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n}}{8^{n + 1}}$

Paso 2.2.4

Cancela el factor común de $8^{n}$ y $8^{n + 1}$ .

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Paso 2.2.4.1

Factoriza $8^{n + 1}$ de ${(- 4)}^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n}$ .

$r = \frac{8^{n + 1} ({(- 4)}^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n - (n + 1)})}{8^{n + 1}}$

Paso 2.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.4.2.1

Multiplica por $1$ .

$r = \frac{8^{n + 1} ({(- 4)}^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n - (n + 1)})}{8^{n + 1} \cdot 1}$

Paso 2.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$r = \frac{8^{n + 1} ({(- 4)}^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n - (n + 1)})}{8^{n + 1} \cdot 1}$

Paso 2.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$r = \frac{{(- 4)}^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n - (n + 1)}}{1}$

Paso 2.2.4.2.4

Divide ${(- 4)}^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n - (n + 1)}$ por $1$ .

$r = {(- 4)}^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n - (n + 1)}$

Paso 2.2.5

Suma $n$ y $0$ .

$r = {(- 4)}^{n - (n - 1)} \cdot 8^{n - (n + 1)}$

Paso 2.2.6

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$r = {(- 4)}^{n - n - - 1} \cdot 8^{n - (n + 1)}$

Paso 2.2.6.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$r = {(- 4)}^{n - n + 1} \cdot 8^{n - (n + 1)}$

Paso 2.2.7

Resta $n$ de $n$ .

$r = {(- 4)}^{0 + 1} \cdot 8^{n - (n + 1)}$

Paso 2.2.8

Suma $0$ y $1$ .

$r = {(- 4)}^{1} \cdot 8^{n - (n + 1)}$

Paso 2.2.9

Evalúa el exponente.

$r = - 4 \cdot 8^{n - (n + 1)}$

Paso 2.2.10

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$r = - 4 \cdot 8^{n - n - 1 \cdot 1}$

Paso 2.2.10.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$r = - 4 \cdot 8^{n - n - 1}$

Paso 2.2.11

Resta $n$ de $n$ .

$r = - 4 \cdot 8^{0 - 1}$

Paso 2.2.12

Resta $1$ de $0$ .

$r = - 4 \cdot 8^{- 1}$

Paso 2.2.13

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$r = - 4 \cdot \frac{1}{8}$

Paso 2.2.14

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.2.14.1

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$r = 4 (- 1) \cdot \frac{1}{8}$

Paso 2.2.14.2

Factoriza $4$ de $8$ .

$r = 4 \cdot - 1 \cdot \frac{1}{4 \cdot 2}$

Paso 2.2.14.3

Cancela el factor común.

$r = 4 \cdot - 1 \cdot \frac{1}{4 \cdot 2}$

Paso 2.2.14.4

Reescribe la expresión.

$r = - 1 \cdot \frac{1}{2}$

Paso 2.2.15

Reescribe $- 1 (\frac{1}{2})$ como $- (\frac{1}{2})$ .

$r = - \frac{1}{2}$

Paso 3

Como $| r | < 1$ , las series convergen.

Paso 4

Obtén el primer término en la serie mediante la sustitución de la cota inferior y la simplificación.

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Paso 4.1

Sustituye $1$ por $n$ en $\frac{{(- 4)}^{n - 1}}{8^{n}}$ .

$a = \frac{{(- 4)}^{1 - 1}}{8^{1}}$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.1.1

Resta $1$ de $1$ .

$a = \frac{{(- 4)}^{0}}{8^{1}}$

Paso 4.2.1.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$a = \frac{1}{8^{1}}$

Paso 4.2.2

Evalúa el exponente.

$a = \frac{1}{8}$

Paso 5

Sustituye los valores de la razón y el primer término en la fórmula de suma.

$\frac{\frac{1}{8}}{1 - - \frac{1}{2}}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{1 - - \frac{1}{2}}$

Paso 6.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.1

Multiplica $- - \frac{1}{2}$ .

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Paso 6.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{1 + 1 (\frac{1}{2})}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{2}}$

Paso 6.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}$

Paso 6.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{\frac{2 + 1}{2}}$

Paso 6.2.4

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{\frac{3}{2}}$

Paso 6.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{8} (1 (\frac{2}{3}))$

Paso 6.4

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{3}$

Paso 6.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.5.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$\frac{1}{2 (4)} \cdot \frac{2}{3}$

Paso 6.5.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2 \cdot 4} \cdot \frac{2}{3}$

Paso 6.5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 6.6

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{4 \cdot 3}$

Paso 6.7

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{1}{12}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{12}$

Forma decimal:

$0.08\overline{3}$