Cálculo Ejemplos

$\sum_{n = 1}^{4} n^{- 2} (12)$

Paso 1

Simplifica la suma.

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Paso 1.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{n^{2}} \cdot 12$

Paso 1.2

Combina $\frac{1}{n^{2}}$ y $12$ .

$\frac{12}{n^{2}}$

Paso 1.3

Reescribe la suma.

$\sum_{n = 1}^{4} \frac{12}{n^{2}}$

Paso 2

Expande la serie para cada valor de $n$ .

$\frac{12}{1^{2}} + \frac{12}{2^{2}} + \frac{12}{3^{2}} + \frac{12}{4^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{12}{1} + \frac{12}{2^{2}} + \frac{12}{3^{2}} + \frac{12}{4^{2}}$

Paso 3.1.2

Divide $12$ por $1$ .

$12 + \frac{12}{2^{2}} + \frac{12}{3^{2}} + \frac{12}{4^{2}}$

Paso 3.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$12 + \frac{12}{4} + \frac{12}{3^{2}} + \frac{12}{4^{2}}$

Paso 3.1.4

Divide $12$ por $4$ .

$12 + 3 + \frac{12}{3^{2}} + \frac{12}{4^{2}}$

Paso 3.1.5

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$12 + 3 + \frac{12}{9} + \frac{12}{4^{2}}$

Paso 3.1.6

Cancela el factor común de $12$ y $9$ .

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Paso 3.1.6.1

Factoriza $3$ de $12$ .

$12 + 3 + \frac{3 (4)}{9} + \frac{12}{4^{2}}$

Paso 3.1.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.6.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$12 + 3 + \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} + \frac{12}{4^{2}}$

Paso 3.1.6.2.2

Cancela el factor común.

$12 + 3 + \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} + \frac{12}{4^{2}}$

Paso 3.1.6.2.3

Reescribe la expresión.

$12 + 3 + \frac{4}{3} + \frac{12}{4^{2}}$

Paso 3.1.7

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$12 + 3 + \frac{4}{3} + \frac{12}{16}$

Paso 3.1.8

Cancela el factor común de $12$ y $16$ .

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Paso 3.1.8.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$12 + 3 + \frac{4}{3} + \frac{4 (3)}{16}$

Paso 3.1.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.8.2.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$12 + 3 + \frac{4}{3} + \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 4}$

Paso 3.1.8.2.2

Cancela el factor común.

$12 + 3 + \frac{4}{3} + \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 4}$

Paso 3.1.8.2.3

Reescribe la expresión.

$12 + 3 + \frac{4}{3} + \frac{3}{4}$

Paso 3.2

Obtén el denominador común

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Paso 3.2.1

Escribe $12$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{12}{1} + 3 + \frac{4}{3} + \frac{3}{4}$

Paso 3.2.2

Multiplica $\frac{12}{1}$ por $\frac{12}{12}$ .

$\frac{12}{1} \cdot \frac{12}{12} + 3 + \frac{4}{3} + \frac{3}{4}$

Paso 3.2.3

Multiplica $\frac{12}{1}$ por $\frac{12}{12}$ .

$\frac{12 \cdot 12}{12} + 3 + \frac{4}{3} + \frac{3}{4}$

Paso 3.2.4

Escribe $3$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{12 \cdot 12}{12} + \frac{3}{1} + \frac{4}{3} + \frac{3}{4}$

Paso 3.2.5

Multiplica $\frac{3}{1}$ por $\frac{12}{12}$ .

$\frac{12 \cdot 12}{12} + \frac{3}{1} \cdot \frac{12}{12} + \frac{4}{3} + \frac{3}{4}$

Paso 3.2.6

Multiplica $\frac{3}{1}$ por $\frac{12}{12}$ .

$\frac{12 \cdot 12}{12} + \frac{3 \cdot 12}{12} + \frac{4}{3} + \frac{3}{4}$

Paso 3.2.7

Multiplica $\frac{4}{3}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{12 \cdot 12}{12} + \frac{3 \cdot 12}{12} + \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{3}{4}$

Paso 3.2.8

Multiplica $\frac{4}{3}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{12 \cdot 12}{12} + \frac{3 \cdot 12}{12} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{3}{4}$

Paso 3.2.9

Multiplica $\frac{3}{4}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{12 \cdot 12}{12} + \frac{3 \cdot 12}{12} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 3.2.10

Multiplica $\frac{3}{4}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{12 \cdot 12}{12} + \frac{3 \cdot 12}{12} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Paso 3.2.11

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{12 \cdot 12}{12} + \frac{3 \cdot 12}{12} + \frac{4 \cdot 4}{12} + \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Paso 3.2.12

Reordena los factores de $4 \cdot 3$ .

$\frac{12 \cdot 12}{12} + \frac{3 \cdot 12}{12} + \frac{4 \cdot 4}{12} + \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 4}$

Paso 3.2.13

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{12 \cdot 12}{12} + \frac{3 \cdot 12}{12} + \frac{4 \cdot 4}{12} + \frac{3 \cdot 3}{12}$

Paso 3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{12 \cdot 12 + 3 \cdot 12 + 4 \cdot 4 + 3 \cdot 3}{12}$

Paso 3.4

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.1

Multiplica $12$ por $12$ .

$\frac{144 + 3 \cdot 12 + 4 \cdot 4 + 3 \cdot 3}{12}$

Paso 3.4.2

Multiplica $3$ por $12$ .

$\frac{144 + 36 + 4 \cdot 4 + 3 \cdot 3}{12}$

Paso 3.4.3

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{144 + 36 + 16 + 3 \cdot 3}{12}$

Paso 3.4.4

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{144 + 36 + 16 + 9}{12}$

Paso 3.5

Suma $144$ y $36$ .

$\frac{180 + 16 + 9}{12}$

Paso 3.6

Suma $180$ y $16$ .

$\frac{196 + 9}{12}$

Paso 3.7

Suma $196$ y $9$ .

$\frac{205}{12}$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{205}{12}$

Forma decimal:

$17.08\overline{3}$

Forma de número mixto:

$17 \frac{1}{12}$