Cálculo Ejemplos

$\sum_{n = 1}^{4} \frac{5 n}{n + 3}$

Paso 1

Expande la serie para cada valor de $n$ .

$\frac{5 \cdot 1}{1 + 3} + \frac{5 \cdot 2}{2 + 3} + \frac{5 \cdot 3}{3 + 3} + \frac{5 \cdot 4}{4 + 3}$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{5}{1 + 3} + \frac{5 \cdot 2}{2 + 3} + \frac{5 \cdot 3}{3 + 3} + \frac{5 \cdot 4}{4 + 3}$

Paso 2.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$\frac{5}{1 + 3} + \frac{10}{2 + 3} + \frac{5 \cdot 3}{3 + 3} + \frac{5 \cdot 4}{4 + 3}$

Paso 2.3

Multiplica $5$ por $3$ .

$\frac{5}{1 + 3} + \frac{10}{2 + 3} + \frac{15}{3 + 3} + \frac{5 \cdot 4}{4 + 3}$

Paso 2.4

Multiplica $5$ por $4$ .

$\frac{5}{1 + 3} + \frac{10}{2 + 3} + \frac{15}{3 + 3} + \frac{20}{4 + 3}$

Paso 2.5

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.1

Suma $1$ y $3$ .

$\frac{5}{4} + \frac{10}{2 + 3} + \frac{15}{3 + 3} + \frac{20}{4 + 3}$

Paso 2.5.2

Suma $2$ y $3$ .

$\frac{5}{4} + \frac{10}{5} + \frac{15}{3 + 3} + \frac{20}{4 + 3}$

Paso 2.5.3

Divide $10$ por $5$ .

$\frac{5}{4} + 2 + \frac{15}{3 + 3} + \frac{20}{4 + 3}$

Paso 2.5.4

Cancela el factor común de $15$ y $3 + 3$ .

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Paso 2.5.4.1

Factoriza $3$ de $15$ .

$\frac{5}{4} + 2 + \frac{3 \cdot 5}{3 + 3} + \frac{20}{4 + 3}$

Paso 2.5.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.5.4.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{5}{4} + 2 + \frac{3 \cdot 5}{3 (1) + 3} + \frac{20}{4 + 3}$

Paso 2.5.4.2.2

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{5}{4} + 2 + \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 1 + 3 \cdot 1} + \frac{20}{4 + 3}$

Paso 2.5.4.2.3

Factoriza $3$ de $3 \cdot 1 + 3 \cdot 1$ .

$\frac{5}{4} + 2 + \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot (1 + 1)} + \frac{20}{4 + 3}$

Paso 2.5.4.2.4

Cancela el factor común.

$\frac{5}{4} + 2 + \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot (1 + 1)} + \frac{20}{4 + 3}$

Paso 2.5.4.2.5

Reescribe la expresión.

$\frac{5}{4} + 2 + \frac{5}{1 + 1} + \frac{20}{4 + 3}$

Paso 2.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{5}{4} + 2 + \frac{5}{2} + \frac{20}{4 + 3}$

Paso 2.5.6

Suma $4$ y $3$ .

$\frac{5}{4} + 2 + \frac{5}{2} + \frac{20}{7}$

Paso 2.6

Obtén el denominador común

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Paso 2.6.1

Multiplica $\frac{5}{4}$ por $\frac{7}{7}$ .

$\frac{5}{4} \cdot \frac{7}{7} + 2 + \frac{5}{2} + \frac{20}{7}$

Paso 2.6.2

Multiplica $\frac{5}{4}$ por $\frac{7}{7}$ .

$\frac{5 \cdot 7}{4 \cdot 7} + 2 + \frac{5}{2} + \frac{20}{7}$

Paso 2.6.3

Escribe $2$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{5 \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{2}{1} + \frac{5}{2} + \frac{20}{7}$

Paso 2.6.4

Multiplica $\frac{2}{1}$ por $\frac{28}{28}$ .

$\frac{5 \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{2}{1} \cdot \frac{28}{28} + \frac{5}{2} + \frac{20}{7}$

Paso 2.6.5

Multiplica $\frac{2}{1}$ por $\frac{28}{28}$ .

$\frac{5 \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{2 \cdot 28}{28} + \frac{5}{2} + \frac{20}{7}$

Paso 2.6.6

Multiplica $\frac{5}{2}$ por $\frac{14}{14}$ .

$\frac{5 \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{2 \cdot 28}{28} + \frac{5}{2} \cdot \frac{14}{14} + \frac{20}{7}$

Paso 2.6.7

Multiplica $\frac{5}{2}$ por $\frac{14}{14}$ .

$\frac{5 \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{2 \cdot 28}{28} + \frac{5 \cdot 14}{2 \cdot 14} + \frac{20}{7}$

Paso 2.6.8

Multiplica $\frac{20}{7}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{5 \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{2 \cdot 28}{28} + \frac{5 \cdot 14}{2 \cdot 14} + \frac{20}{7} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 2.6.9

Multiplica $\frac{20}{7}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{5 \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{2 \cdot 28}{28} + \frac{5 \cdot 14}{2 \cdot 14} + \frac{20 \cdot 4}{7 \cdot 4}$

Paso 2.6.10

Multiplica $4$ por $7$ .

$\frac{5 \cdot 7}{28} + \frac{2 \cdot 28}{28} + \frac{5 \cdot 14}{2 \cdot 14} + \frac{20 \cdot 4}{7 \cdot 4}$

Paso 2.6.11

Multiplica $2$ por $14$ .

$\frac{5 \cdot 7}{28} + \frac{2 \cdot 28}{28} + \frac{5 \cdot 14}{28} + \frac{20 \cdot 4}{7 \cdot 4}$

Paso 2.6.12

Reordena los factores de $7 \cdot 4$ .

$\frac{5 \cdot 7}{28} + \frac{2 \cdot 28}{28} + \frac{5 \cdot 14}{28} + \frac{20 \cdot 4}{4 \cdot 7}$

Paso 2.6.13

Multiplica $4$ por $7$ .

$\frac{5 \cdot 7}{28} + \frac{2 \cdot 28}{28} + \frac{5 \cdot 14}{28} + \frac{20 \cdot 4}{28}$

Paso 2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{5 \cdot 7 + 2 \cdot 28 + 5 \cdot 14 + 20 \cdot 4}{28}$

Paso 2.8

Simplifica cada término.

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Paso 2.8.1

Multiplica $5$ por $7$ .

$\frac{35 + 2 \cdot 28 + 5 \cdot 14 + 20 \cdot 4}{28}$

Paso 2.8.2

Multiplica $2$ por $28$ .

$\frac{35 + 56 + 5 \cdot 14 + 20 \cdot 4}{28}$

Paso 2.8.3

Multiplica $5$ por $14$ .

$\frac{35 + 56 + 70 + 20 \cdot 4}{28}$

Paso 2.8.4

Multiplica $20$ por $4$ .

$\frac{35 + 56 + 70 + 80}{28}$

Paso 2.9

Suma $35$ y $56$ .

$\frac{91 + 70 + 80}{28}$

Paso 2.10

Suma $91$ y $70$ .

$\frac{161 + 80}{28}$

Paso 2.11

Suma $161$ y $80$ .

$\frac{241}{28}$

Paso 3

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{241}{28}$

Forma decimal:

$8.60714285 \dots$

Forma de número mixto:

$8 \frac{17}{28}$