Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + x + 3}$

Paso 1

Obtén el dominio para determinar si la expresión es continua.

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Paso 1.1

Establece el denominador en $\frac{x}{x^{2} + x + 3}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} + x + 3 = 0$

Paso 1.2

Resuelve $x$

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Paso 1.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 1.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 1$ y $c = 3$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.3

Simplifica.

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Paso 1.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.3.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

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Paso 1.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.3.1.3

Resta $12$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 11}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.3.1.4

Reescribe $- 11$ como $- 1 (11)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (11)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{2}$

Paso 1.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 1.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.4.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

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Paso 1.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.1.3

Resta $12$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 11}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.1.4

Reescribe $- 11$ como $- 1 (11)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (11)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{2}$

Paso 1.2.4.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{11}}{2}$

Paso 1.2.4.4

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{11}}{2}$

Paso 1.2.4.5

Factoriza $- 1$ de $i \sqrt{11}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{11})}{2}$

Paso 1.2.4.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (- i \sqrt{11})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{11})}{2}$

Paso 1.2.4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{11}}{2}$

Paso 1.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 1.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.5.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

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Paso 1.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.1.3

Resta $12$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 11}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.1.4

Reescribe $- 11$ como $- 1 (11)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (11)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{2}$

Paso 1.2.5.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{11}}{2}$

Paso 1.2.5.4

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{11}}{2}$

Paso 1.2.5.5

Factoriza $- 1$ de $- i \sqrt{11}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{11})}{2}$

Paso 1.2.5.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (i \sqrt{11})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{11})}{2}$

Paso 1.2.5.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{11}}{2}$

Paso 1.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{11}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{11}}{2}$

Paso 1.3

El dominio son todos números reales.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 2

Como el dominio son todos números reales, $\frac{x}{x^{2} + x + 3}$ es continua con todos los números reales.

Continuo

Paso 3