Cálculo Ejemplos

$\frac{{(3 t - 10)}^{9}}{t + 3}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ es $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ donde $f (t) = {(3 t - 10)}^{9}$ y $g (t) = t + 3$ .

$\frac{(t + 3) \frac{d}{d t} [{(3 t - 10)}^{9}] - {(3 t - 10)}^{9} \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{9}$ y $g (t) = 3 t - 10$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 t - 10$ .

$\frac{(t + 3) (\frac{d}{d u} [u^{9}] \frac{d}{d t} [3 t - 10]) - {(3 t - 10)}^{9} \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 9$ .

$\frac{(t + 3) (9 u^{8} \frac{d}{d t} [3 t - 10]) - {(3 t - 10)}^{9} \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 t - 10$ .

$\frac{(t + 3) (9 {(3 t - 10)}^{8} \frac{d}{d t} [3 t - 10]) - {(3 t - 10)}^{9} \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Mueve $9$ a la izquierda de $t + 3$ .

$\frac{9 \cdot (t + 3) {(3 t - 10)}^{8} \frac{d}{d t} [3 t - 10] - {(3 t - 10)}^{9} \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 t - 10$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 10]$ .

$\frac{9 (t + 3) {(3 t - 10)}^{8} (\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 10]) - {(3 t - 10)}^{9} \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

Paso 3.3

Como $3$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $3 t$ con respecto a $t$ es $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{9 (t + 3) {(3 t - 10)}^{8} (3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 10]) - {(3 t - 10)}^{9} \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{9 (t + 3) {(3 t - 10)}^{8} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 10]) - {(3 t - 10)}^{9} \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

Paso 3.5

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{9 (t + 3) {(3 t - 10)}^{8} (3 + \frac{d}{d t} [- 10]) - {(3 t - 10)}^{9} \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

Paso 3.6

Como $- 10$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 10$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{9 (t + 3) {(3 t - 10)}^{8} (3 + 0) - {(3 t - 10)}^{9} \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

Paso 3.7

Simplifica la expresión.

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Paso 3.7.1

Suma $3$ y $0$ .

$\frac{9 (t + 3) {(3 t - 10)}^{8} \cdot 3 - {(3 t - 10)}^{9} \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

Paso 3.7.2

Multiplica $3$ por $9$ .

$\frac{27 (t + 3) {(3 t - 10)}^{8} - {(3 t - 10)}^{9} \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

Paso 3.8

Según la regla de la suma, la derivada de $t + 3$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$\frac{27 (t + 3) {(3 t - 10)}^{8} - {(3 t - 10)}^{9} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3])}{{(t + 3)}^{2}}$

Paso 3.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{27 (t + 3) {(3 t - 10)}^{8} - {(3 t - 10)}^{9} (1 + \frac{d}{d t} [3])}{{(t + 3)}^{2}}$

Paso 3.10

Como $3$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $3$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{27 (t + 3) {(3 t - 10)}^{8} - {(3 t - 10)}^{9} (1 + 0)}{{(t + 3)}^{2}}$

Paso 3.11

Simplifica la expresión.

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Paso 3.11.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{27 (t + 3) {(3 t - 10)}^{8} - {(3 t - 10)}^{9} \cdot 1}{{(t + 3)}^{2}}$

Paso 3.11.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{27 (t + 3) {(3 t - 10)}^{8} - {(3 t - 10)}^{9}}{{(t + 3)}^{2}}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(27 t + 27 \cdot 3) {(3 t - 10)}^{8} - {(3 t - 10)}^{9}}{{(t + 3)}^{2}}$

Paso 4.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.1

Factoriza ${(3 t - 10)}^{8}$ de $(27 t + 27 \cdot 3) {(3 t - 10)}^{8} - {(3 t - 10)}^{9}$ .

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Paso 4.2.1.1

Factoriza ${(3 t - 10)}^{8}$ de $(27 t + 27 \cdot 3) {(3 t - 10)}^{8}$ .

$\frac{{(3 t - 10)}^{8} (27 t + 27 \cdot 3) - {(3 t - 10)}^{9}}{{(t + 3)}^{2}}$

Paso 4.2.1.2

Factoriza ${(3 t - 10)}^{8}$ de $- {(3 t - 10)}^{9}$ .

$\frac{{(3 t - 10)}^{8} (27 t + 27 \cdot 3) + {(3 t - 10)}^{8} (- (3 t - 10))}{{(t + 3)}^{2}}$

Paso 4.2.1.3

Factoriza ${(3 t - 10)}^{8}$ de ${(3 t - 10)}^{8} (27 t + 27 \cdot 3) + {(3 t - 10)}^{8} (- (3 t - 10))$ .

$\frac{{(3 t - 10)}^{8} (27 t + 27 \cdot 3 - (3 t - 10))}{{(t + 3)}^{2}}$

Paso 4.2.2

Multiplica $27$ por $3$ .

$\frac{{(3 t - 10)}^{8} (27 t + 81 - (3 t - 10))}{{(t + 3)}^{2}}$

Paso 4.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{{(3 t - 10)}^{8} (27 t + 81 - (3 t) - - 10)}{{(t + 3)}^{2}}$

Paso 4.2.4

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{{(3 t - 10)}^{8} (27 t + 81 - 3 t - - 10)}{{(t + 3)}^{2}}$

Paso 4.2.5

Multiplica $- 1$ por $- 10$ .

$\frac{{(3 t - 10)}^{8} (27 t + 81 - 3 t + 10)}{{(t + 3)}^{2}}$

Paso 4.2.6

Resta $3 t$ de $27 t$ .

$\frac{{(3 t - 10)}^{8} (24 t + 81 + 10)}{{(t + 3)}^{2}}$

Paso 4.2.7

Suma $81$ y $10$ .

$\frac{{(3 t - 10)}^{8} (24 t + 91)}{{(t + 3)}^{2}}$