Cálculo Ejemplos

$\frac{\sin (q) - \cos (q)}{\sin (q)}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d q} [\frac{f (q)}{g (q)}]$ es $\frac{g (q) \frac{d}{d q} [f (q)] - f (q) \frac{d}{d q} [g (q)]}{{g (q)}^{2}}$ donde $f (q) = \sin (q) - \cos (q)$ y $g (q) = \sin (q)$ .

$\frac{\sin (q) \frac{d}{d q} [\sin (q) - \cos (q)] - (\sin (q) - \cos (q)) \frac{d}{d q} [\sin (q)]}{\sin^{2} (q)}$

Paso 2

Según la regla de la suma, la derivada de $\sin (q) - \cos (q)$ con respecto a $q$ es $\frac{d}{d q} [\sin (q)] + \frac{d}{d q} [- \cos (q)]$ .

$\frac{\sin (q) (\frac{d}{d q} [\sin (q)] + \frac{d}{d q} [- \cos (q)]) - (\sin (q) - \cos (q)) \frac{d}{d q} [\sin (q)]}{\sin^{2} (q)}$

Paso 3

La derivada de $\sin (q)$ con respecto a $q$ es $\cos (q)$ .

$\frac{\sin (q) (\cos (q) + \frac{d}{d q} [- \cos (q)]) - (\sin (q) - \cos (q)) \frac{d}{d q} [\sin (q)]}{\sin^{2} (q)}$

Paso 4

Como $- 1$ es constante con respecto a $q$ , la derivada de $- \cos (q)$ con respecto a $q$ es $- \frac{d}{d q} [\cos (q)]$ .

$\frac{\sin (q) (\cos (q) - \frac{d}{d q} [\cos (q)]) - (\sin (q) - \cos (q)) \frac{d}{d q} [\sin (q)]}{\sin^{2} (q)}$

Paso 5

La derivada de $\cos (q)$ con respecto a $q$ es $- \sin (q)$ .

$\frac{\sin (q) (\cos (q) - - \sin (q)) - (\sin (q) - \cos (q)) \frac{d}{d q} [\sin (q)]}{\sin^{2} (q)}$

Paso 6

Multiplica.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\sin (q) (\cos (q) + 1 \sin (q)) - (\sin (q) - \cos (q)) \frac{d}{d q} [\sin (q)]}{\sin^{2} (q)}$

Paso 6.2

Multiplica $\sin (q)$ por $1$ .

$\frac{\sin (q) (\cos (q) + \sin (q)) - (\sin (q) - \cos (q)) \frac{d}{d q} [\sin (q)]}{\sin^{2} (q)}$

Paso 7

La derivada de $\sin (q)$ con respecto a $q$ es $\cos (q)$ .

$\frac{\sin (q) (\cos (q) + \sin (q)) - (\sin (q) - \cos (q)) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sin (q) \cos (q) + \sin (q) \sin (q) - (\sin (q) - \cos (q)) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Paso 8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sin (q) \cos (q) + \sin (q) \sin (q) + (- \sin (q) - - \cos (q)) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Paso 8.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sin (q) \cos (q) + \sin (q) \sin (q) - \sin (q) \cos (q) - - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Paso 8.4

Simplifica el numerador.

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Paso 8.4.1

Combina los términos opuestos en $\sin (q) \cos (q) + \sin (q) \sin (q) - \sin (q) \cos (q) - - \cos (q) \cos (q)$ .

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Paso 8.4.1.1

Resta $\sin (q) \cos (q)$ de $\sin (q) \cos (q)$ .

$\frac{\sin (q) \sin (q) + 0 - - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Paso 8.4.1.2

Suma $\sin (q) \sin (q)$ y $0$ .

$\frac{\sin (q) \sin (q) - - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Paso 8.4.2

Simplifica cada término.

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Paso 8.4.2.1

Multiplica $\sin (q) \sin (q)$ .

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Paso 8.4.2.1.1

Eleva $\sin (q)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sin^{1} (q) \sin (q) - - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Paso 8.4.2.1.2

Eleva $\sin (q)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sin^{1} (q) \sin^{1} (q) - - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Paso 8.4.2.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{\sin (q)}^{1 + 1} - - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Paso 8.4.2.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sin^{2} (q) - - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Paso 8.4.2.2

Multiplica $- - \cos (q)$ .

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Paso 8.4.2.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\sin^{2} (q) + 1 \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Paso 8.4.2.2.2

Multiplica $\cos (q)$ por $1$ .

$\frac{\sin^{2} (q) + \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Paso 8.4.2.3

Multiplica $\cos (q) \cos (q)$ .

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Paso 8.4.2.3.1

Eleva $\cos (q)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sin^{2} (q) + \cos^{1} (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Paso 8.4.2.3.2

Eleva $\cos (q)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sin^{2} (q) + \cos^{1} (q) \cos^{1} (q)}{\sin^{2} (q)}$

Paso 8.4.2.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sin^{2} (q) + {\cos (q)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (q)}$

Paso 8.4.2.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sin^{2} (q) + \cos^{2} (q)}{\sin^{2} (q)}$

Paso 8.4.3

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{1}{\sin^{2} (q)}$

Paso 8.5

Convierte de $\frac{1}{\sin^{2} (q)}$ a $\csc^{2} (q)$ .

$\csc^{2} (q)$