Cálculo Ejemplos

$\sqrt{\frac{t}{t^{2} + 6}}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{\frac{t}{t^{2} + 6}}$ como ${(\frac{t}{t^{2} + 6})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [{(\frac{t}{t^{2} + 6})}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ y $g (t) = \frac{t}{t^{2} + 6}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{t}{t^{2} + 6}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [\frac{t}{t^{2} + 6}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [\frac{t}{t^{2} + 6}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{t}{t^{2} + 6}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 6})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [\frac{t}{t^{2} + 6}]$

Paso 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 6})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{t^{2} + 6}]$

Paso 4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 6})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{t^{2} + 6}]$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 6})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{t^{2} + 6}]$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 6})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{t^{2} + 6}]$

Paso 6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 6})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{t^{2} + 6}]$

Paso 7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 6})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{t^{2} + 6}]$

Paso 8

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ es $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ donde $f (t) = t$ y $g (t) = t^{2} + 6$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 6})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(t^{2} + 6) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [t^{2} + 6]}{{(t^{2} + 6)}^{2}}$

Paso 9

Diferencia.

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Paso 9.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 6})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(t^{2} + 6) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [t^{2} + 6]}{{(t^{2} + 6)}^{2}}$

Paso 9.2

Multiplica $t^{2} + 6$ por $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 6})}^{- \frac{1}{2}} \frac{t^{2} + 6 - t \frac{d}{d t} [t^{2} + 6]}{{(t^{2} + 6)}^{2}}$

Paso 9.3

Según la regla de la suma, la derivada de $t^{2} + 6$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [6]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 6})}^{- \frac{1}{2}} \frac{t^{2} + 6 - t (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [6])}{{(t^{2} + 6)}^{2}}$

Paso 9.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 6})}^{- \frac{1}{2}} \frac{t^{2} + 6 - t (2 t + \frac{d}{d t} [6])}{{(t^{2} + 6)}^{2}}$

Paso 9.5

Como $6$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $6$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 6})}^{- \frac{1}{2}} \frac{t^{2} + 6 - t (2 t + 0)}{{(t^{2} + 6)}^{2}}$

Paso 9.6

Simplifica la expresión.

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Paso 9.6.1

Suma $2 t$ y $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 6})}^{- \frac{1}{2}} \frac{t^{2} + 6 - t (2 t)}{{(t^{2} + 6)}^{2}}$

Paso 9.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 6})}^{- \frac{1}{2}} \frac{t^{2} + 6 - 2 t \cdot t}{{(t^{2} + 6)}^{2}}$

Paso 10

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 6})}^{- \frac{1}{2}} \frac{t^{2} + 6 - 2 (t^{1} t)}{{(t^{2} + 6)}^{2}}$

Paso 11

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 6})}^{- \frac{1}{2}} \frac{t^{2} + 6 - 2 (t^{1} t^{1})}{{(t^{2} + 6)}^{2}}$

Paso 12

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 6})}^{- \frac{1}{2}} \frac{t^{2} + 6 - 2 t^{1 + 1}}{{(t^{2} + 6)}^{2}}$

Paso 13

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 6})}^{- \frac{1}{2}} \frac{t^{2} + 6 - 2 t^{2}}{{(t^{2} + 6)}^{2}}$

Paso 14

Resta $2 t^{2}$ de $t^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 6})}^{- \frac{1}{2}} \frac{- t^{2} + 6}{{(t^{2} + 6)}^{2}}$

Paso 15

Multiplica $\frac{- t^{2} + 6}{{(t^{2} + 6)}^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- t^{2} + 6}{{(t^{2} + 6)}^{2} \cdot 2} {(\frac{t}{t^{2} + 6})}^{- \frac{1}{2}}$

Paso 16

Mueve $2$ a la izquierda de ${(t^{2} + 6)}^{2}$ .

$\frac{- t^{2} + 6}{2 \cdot {(t^{2} + 6)}^{2}} {(\frac{t}{t^{2} + 6})}^{- \frac{1}{2}}$

Paso 17

Simplifica.

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Paso 17.1

Cambia el signo del exponente; para ello, reescribe la base como su recíproca.

$\frac{- t^{2} + 6}{2 {(t^{2} + 6)}^{2}} {(\frac{t^{2} + 6}{t})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 17.2

Aplica la regla del producto a $\frac{t^{2} + 6}{t}$ .

$\frac{- t^{2} + 6}{2 {(t^{2} + 6)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{t^{\frac{1}{2}}}$

Paso 17.3

Combina los términos.

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Paso 17.3.1

Multiplica $\frac{- t^{2} + 6}{2 {(t^{2} + 6)}^{2}}$ por $\frac{{(t^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(- t^{2} + 6) {(t^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t^{2} + 6)}^{2} t^{\frac{1}{2}}}$

Paso 17.3.2

Mueve ${(t^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{- t^{2} + 6}{2 {(t^{2} + 6)}^{2} t^{\frac{1}{2}} {(t^{2} + 6)}^{- \frac{1}{2}}}$

Paso 17.3.3

Multiplica ${(t^{2} + 6)}^{2}$ por ${(t^{2} + 6)}^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 17.3.3.1

Mueve ${(t^{2} + 6)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{- t^{2} + 6}{2 ({(t^{2} + 6)}^{- \frac{1}{2}} {(t^{2} + 6)}^{2}) t^{\frac{1}{2}}}$

Paso 17.3.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- t^{2} + 6}{2 {(t^{2} + 6)}^{- \frac{1}{2} + 2} t^{\frac{1}{2}}}$

Paso 17.3.3.3

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- t^{2} + 6}{2 {(t^{2} + 6)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

Paso 17.3.3.4

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- t^{2} + 6}{2 {(t^{2} + 6)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

Paso 17.3.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- t^{2} + 6}{2 {(t^{2} + 6)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

Paso 17.3.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 17.3.3.6.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{- t^{2} + 6}{2 {(t^{2} + 6)}^{\frac{- 1 + 4}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

Paso 17.3.3.6.2

Suma $- 1$ y $4$ .

$\frac{- t^{2} + 6}{2 {(t^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

Paso 17.4

Reordena los términos.

$\frac{- t^{2} + 6}{2 t^{\frac{1}{2}} {(t^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 17.5

Factoriza $- 1$ de $- t^{2}$ .

$\frac{- (t^{2}) + 6}{2 t^{\frac{1}{2}} {(t^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 17.6

Reescribe $6$ como $- 1 (- 6)$ .

$\frac{- (t^{2}) - 1 (- 6)}{2 t^{\frac{1}{2}} {(t^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 17.7

Factoriza $- 1$ de $- (t^{2}) - 1 (- 6)$ .

$\frac{- (t^{2} - 6)}{2 t^{\frac{1}{2}} {(t^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 17.8

Reescribe $- (t^{2} - 6)$ como $- 1 (t^{2} - 6)$ .

$\frac{- 1 (t^{2} - 6)}{2 t^{\frac{1}{2}} {(t^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 17.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{t^{2} - 6}{2 t^{\frac{1}{2}} {(t^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}}}$