Cálculo Ejemplos

$(45 + e^{t}) \ln (t)$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ es $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ donde $f (t) = 45 + e^{t}$ y $g (t) = \ln (t)$ .

$(45 + e^{t}) \frac{d}{d t} [\ln (t)] + \ln (t) \frac{d}{d t} [45 + e^{t}]$

Paso 2

La derivada de $\ln (t)$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{t}$ .

$(45 + e^{t}) \frac{1}{t} + \ln (t) \frac{d}{d t} [45 + e^{t}]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $45 + e^{t}$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [45] + \frac{d}{d t} [e^{t}]$ .

$(45 + e^{t}) \frac{1}{t} + \ln (t) (\frac{d}{d t} [45] + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Paso 3.2

Como $45$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $45$ con respecto a $t$ es $0$ .

$(45 + e^{t}) \frac{1}{t} + \ln (t) (0 + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Paso 3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d t} [e^{t}]$ .

$(45 + e^{t}) \frac{1}{t} + \ln (t) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Paso 4

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ es $a^{t} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$(45 + e^{t}) \frac{1}{t} + \ln (t) e^{t}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$45 \frac{1}{t} + e^{t} \frac{1}{t} + \ln (t) e^{t}$

Paso 5.2

Combina los términos.

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Paso 5.2.1

Combina $45$ y $\frac{1}{t}$ .

$\frac{45}{t} + e^{t} \frac{1}{t} + \ln (t) e^{t}$

Paso 5.2.2

Combina $e^{t}$ y $\frac{1}{t}$ .

$\frac{45}{t} + \frac{e^{t}}{t} + \ln (t) e^{t}$

Paso 5.3

Reordena los términos.

$e^{t} \ln (t) + \frac{45}{t} + \frac{e^{t}}{t}$