Cálculo Ejemplos

$y = \frac{x^{2} - 4 x + 1}{x^{2} + 1}$

Paso 1

Escribe $y = \frac{x^{2} - 4 x + 1}{x^{2} + 1}$ como una función.

$f (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 1}{x^{2} + 1}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2} - 4 x + 1$ y $g (x) = x^{2} + 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 1) - (x^{2} - 4 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.1.2

Diferencia.

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Paso 2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 4 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - 4 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - 4 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.1.2.3

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - 4 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - 4 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.1.2.5

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 4 + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - 4 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.1.2.6

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 4 + 0) - (x^{2} - 4 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.1.2.7

Suma $2 x - 4$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 4) - (x^{2} - 4 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.1.2.8

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 4) - (x^{2} - 4 x + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.1.2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 4) - (x^{2} - 4 x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.1.2.10

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 4) - (x^{2} - 4 x + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.1.2.11

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.2.11.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 4) - (x^{2} - 4 x + 1) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.1.2.11.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 4) - 2 (x^{2} - 4 x + 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.1.3

Simplifica.

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Paso 2.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 4) + (- 2 x^{2} - 2 (- 4 x) - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 4) - 2 x^{2} x - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.1.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.3.3.1.1

Expande $(x^{2} + 1) (2 x - 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.3.3.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{x^{2} (2 x - 4) + 1 (2 x - 4) - 2 x^{2} x - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.1.3.3.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 4 + 1 (2 x - 4) - 2 x^{2} x - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.1.3.3.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 4 - 2 x^{2} x - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.1.3.3.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.3.3.1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 4 - 2 x^{2} x - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.1.3.3.1.2.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.3.3.1.2.2.1

Mueve $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 4 - 2 x^{2} x - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.1.3.3.1.2.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 2.1.3.3.1.2.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 4 - 2 x^{2} x - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.1.3.3.1.2.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 4 - 2 x^{2} x - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.1.3.3.1.2.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot - 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 4 - 2 x^{2} x - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.1.3.3.1.2.3

Mueve $- 4$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 \cdot x^{2} + 1 (2 x) + 1 \cdot - 4 - 2 x^{2} x - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.1.3.3.1.2.4

Multiplica $2 x$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 1 \cdot - 4 - 2 x^{2} x - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.1.3.3.1.2.5

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 4 - 2 x^{2} x - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.1.3.3.1.3

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.3.3.1.3.1

Mueve $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 4 - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.1.3.3.1.3.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 2.1.3.3.1.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 4 - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.1.3.3.1.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 4 - 2 x^{1 + 2} - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.1.3.3.1.3.3

Suma $1$ y $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 4 - 2 x^{3} - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.1.3.3.1.4

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.3.3.1.4.1

Mueve $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 4 - 2 x^{3} - 2 (- 4 (x \cdot x)) - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.1.3.3.1.4.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 4 - 2 x^{3} - 2 (- 4 x^{2}) - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.1.3.3.1.5

Multiplica $- 4$ por $- 2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 4 - 2 x^{3} + 8 x^{2} - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.1.3.3.1.6

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 4 - 2 x^{3} + 8 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.1.3.3.2

Combina los términos opuestos en $2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 4 - 2 x^{3} + 8 x^{2} - 2 x$ .

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Paso 2.1.3.3.2.1

Resta $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} + 2 x - 4 + 0 + 8 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.1.3.3.2.2

Suma $- 4 x^{2} + 2 x - 4$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} + 2 x - 4 + 8 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.1.3.3.2.3

Resta $2 x$ de $2 x$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} - 4 + 8 x^{2} + 0}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.1.3.3.2.4

Suma $- 4 x^{2} - 4 + 8 x^{2}$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} - 4 + 8 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.1.3.3.3

Suma $- 4 x^{2}$ y $8 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.1.3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.3.4.1

Factoriza $4$ de $4 x^{2} - 4$ .

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Paso 2.1.3.4.1.1

Factoriza $4$ de $4 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{2}) - 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.1.3.4.1.2

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{2}) + 4 (- 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.1.3.4.1.3

Factoriza $4$ de $4 (x^{2}) + 4 (- 1)$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.1.3.4.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{2} - 1^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.1.3.4.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$f' (x) = \frac{4 (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{4 (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\frac{(x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{(x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Paso 2.2.2

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} ((x + 1) (x - 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}})$

Paso 2.2.3

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} ((x + 1) (x - 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}})$

Paso 2.2.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} ((x + 1) (x - 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x + 1$ y $g (x) = x - 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x + 1) \frac{d}{d x} (x - 1) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Paso 2.2.5

Diferencia.

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Paso 2.2.5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x + 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Paso 2.2.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x + 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Paso 2.2.5.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Paso 2.2.5.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.5.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Paso 2.2.5.4.2

Multiplica $x + 1$ por $1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Paso 2.2.5.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Paso 2.2.5.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (1))) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Paso 2.2.5.7

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + (x - 1) (1 + 0)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Paso 2.2.5.8

Simplifica mediante la adición de términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.8.1

Suma $1$ y $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + (x - 1) \cdot 1) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Paso 2.2.5.8.2

Multiplica $x - 1$ por $1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + x - 1) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Paso 2.2.5.8.3

Suma $x$ y $x$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 1 - 1) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Paso 2.2.5.8.4

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.8.4.1

Resta $1$ de $1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 0) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Paso 2.2.5.8.4.2

Suma $2 x$ y $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Paso 2.2.5.8.4.3

Mueve $2$ a la izquierda de ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{2 \cdot ({(x^{2} + 1)}^{2} x) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Paso 2.2.6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x^{2} + 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - (x + 1) (x - 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Paso 2.2.6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - (x + 1) (x - 1) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Paso 2.2.6.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - (x + 1) (x - 1) (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Paso 2.2.7

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.7.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Paso 2.2.7.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Paso 2.2.7.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Paso 2.2.7.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Paso 2.2.7.5

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.7.5.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) (2 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Paso 2.2.7.5.2

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.7.5.2.1

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) (2 \cdot ((x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Paso 2.2.7.5.2.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 4 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Paso 2.2.7.5.3

Combina $4$ y $\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 4 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 4 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (2 {(x^{2} + 1)}^{2} x + (- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (2 {(x^{2} + 1)}^{2} x + (- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (2 {(x^{2} + 1)}^{2} x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.4

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.8.4.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.8.4.1.1

Reescribe ${(x^{2} + 1)}^{2}$ como $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 ((x^{2} + 1) (x^{2} + 1)) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.4.1.2

Expande $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.8.4.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (2 (x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.4.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.4.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.4.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.8.4.1.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.8.4.1.3.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.8.4.1.3.1.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{4 (2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.4.1.3.1.1.2

Suma $2$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 (x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.4.1.3.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 (x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.4.1.3.1.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.4.1.3.1.4

Multiplica $1$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.4.1.3.2

Suma $x^{2}$ y $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 (x^{4} + 2 x^{2} + 1) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.4.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 ((2 x^{4} + 2 (2 x^{2}) + 2 \cdot 1) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.4.1.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.8.4.1.5.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 ((2 x^{4} + 4 x^{2} + 2 \cdot 1) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.4.1.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 ((2 x^{4} + 4 x^{2} + 2) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.4.1.6

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (2 x^{4} x + 4 x^{2} x + 2 x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.4.1.7

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.8.4.1.7.1

Multiplica $x^{4}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.8.4.1.7.1.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 (x \cdot x^{4}) + 4 x^{2} x + 2 x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.4.1.7.1.2

Multiplica $x$ por $x^{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.8.4.1.7.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 (x \cdot x^{4}) + 4 x^{2} x + 2 x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.4.1.7.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{4 (2 x^{1 + 4} + 4 x^{2} x + 2 x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.4.1.7.1.3

Suma $1$ y $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 x^{5} + 4 x^{2} x + 2 x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.4.1.7.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.8.4.1.7.2.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 x^{5} + 4 (x \cdot x^{2}) + 2 x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.4.1.7.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.8.4.1.7.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 x^{5} + 4 (x \cdot x^{2}) + 2 x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.4.1.7.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{4 (2 x^{5} + 4 x^{1 + 2} + 2 x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.4.1.7.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 x^{5} + 4 x^{3} + 2 x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.4.1.8

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (2 x^{5}) + 4 (4 x^{3}) + 4 (2 x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.4.1.9

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.8.4.1.9.1

Multiplica $2$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 4 (4 x^{3}) + 4 (2 x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.4.1.9.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 4 (2 x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.4.1.9.3

Multiplica $2$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.4.1.10

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x - 4) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.4.1.11

Expande $(- 4 x - 4) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.8.4.1.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x (x - 1) - 4 (x - 1)) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.4.1.11.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x \cdot x - 4 x \cdot - 1 - 4 (x - 1)) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.4.1.11.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x \cdot x - 4 x \cdot - 1 - 4 x - 4 \cdot - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.4.1.12

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.8.4.1.12.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.8.4.1.12.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.8.4.1.12.1.1.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 (x \cdot x) - 4 x \cdot - 1 - 4 x - 4 \cdot - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.4.1.12.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x^{2} - 4 x \cdot - 1 - 4 x - 4 \cdot - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.4.1.12.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x^{2} + 4 x - 4 x - 4 \cdot - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.4.1.12.1.3

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x^{2} + 4 x - 4 x + 4) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.4.1.12.2

Resta $4 x$ de $4 x$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x^{2} + 0 + 4) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.4.1.12.3

Suma $- 4 x^{2}$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x^{2} + 4) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.4.1.13

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.8.4.1.13.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.8.4.1.13.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.8.4.1.13.1.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x^{2} + 4) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.4.1.13.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x^{2} + 4) (x^{2 + 1} + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.4.1.13.1.2

Suma $2$ y $1$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x^{2} + 4) (x^{3} + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.4.1.13.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x^{2} + 4) (x^{3} + x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.4.1.14

Expande $(- 4 x^{2} + 4) (x^{3} + x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.8.4.1.14.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 x^{2} (x^{3} + x) + 4 (x^{3} + x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.4.1.14.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 x^{2} x^{3} - 4 x^{2} x + 4 (x^{3} + x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.4.1.14.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 x^{2} x^{3} - 4 x^{2} x + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.4.1.15

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.8.4.1.15.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.8.4.1.15.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.8.4.1.15.1.1.1

Mueve $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 (x^{3} x^{2}) - 4 x^{2} x + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.4.1.15.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 x^{3 + 2} - 4 x^{2} x + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.4.1.15.1.1.3

Suma $3$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 x^{5} - 4 x^{2} x + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.4.1.15.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.8.4.1.15.1.2.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 x^{5} - 4 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.4.1.15.1.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.8.4.1.15.1.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 x^{5} - 4 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.4.1.15.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 x^{5} - 4 x^{1 + 2} + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.4.1.15.1.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 x^{5} - 4 x^{3} + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.4.1.15.2

Suma $- 4 x^{3}$ y $4 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 x^{5} + 0 + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.4.1.15.3

Suma $- 4 x^{5}$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 x^{5} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.4.1.16

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 x^{5}) + 4 (4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.4.1.17

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x - 16 x^{5} + 4 (4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.4.1.18

Multiplica $4$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x - 16 x^{5} + 16 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.4.2

Resta $16 x^{5}$ de $8 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 16 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.4.3

Suma $8 x$ y $16 x$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 16 x^{3} + 24 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.8.5.1

Factoriza $8 x$ de $- 8 x^{5} + 16 x^{3} + 24 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.8.5.1.1

Factoriza $8 x$ de $- 8 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (- x^{4}) + 16 x^{3} + 24 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.5.1.2

Factoriza $8 x$ de $16 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (- x^{4}) + 8 x (2 x^{2}) + 24 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.5.1.3

Factoriza $8 x$ de $24 x$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (- x^{4}) + 8 x (2 x^{2}) + 8 x (3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.5.1.4

Factoriza $8 x$ de $8 x (- x^{4}) + 8 x (2 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (- x^{4} + 2 x^{2}) + 8 x (3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.5.1.5

Factoriza $8 x$ de $8 x (- x^{4} + 2 x^{2}) + 8 x (3)$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (- x^{4} + 2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.5.2

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (- {(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.5.3

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (- u^{2} + 2 u + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.5.4

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.2.8.5.4.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ y cuya suma es $b = 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.8.5.4.1.1

Factoriza $2$ de $2 u$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (- u^{2} + 2 (u) + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.5.4.1.2

Reescribe $2$ como $- 1$ más $3$

$f'' (x) = \frac{8 x (- u^{2} + (- 1 + 3) u + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.5.4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{8 x (- u^{2} - 1 u + 3 u + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.5.4.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.2.8.5.4.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$f'' (x) = \frac{8 x ((- u^{2} - 1 u) + 3 u + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.5.4.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$f'' (x) = \frac{8 x (u (- u - 1) - 3 (- u - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.5.4.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- u - 1$ .

$f'' (x) = \frac{8 x ((- u - 1) (u - 3))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.5.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (- x^{2} - 1) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.6

Cancela el factor común de $- x^{2} - 1$ y ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

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Paso 2.2.8.6.1

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (- (x^{2}) - 1) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.6.2

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (- (x^{2}) - 1 \cdot 1) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.6.3

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - 1 (1)$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (- (x^{2} + 1)) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.6.4

Reescribe $- (x^{2} + 1)$ como $- 1 (x^{2} + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (- 1 (x^{2} + 1)) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.6.5

Factoriza $x^{2} + 1$ de $8 x (- 1 (x^{2} + 1)) (x^{2} - 3)$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (8 x \cdot ((- 1) (x^{2} - 3)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.8.6.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.8.6.6.1

Factoriza $x^{2} + 1$ de ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (8 x \cdot ((- 1) (x^{2} - 3)))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.2.8.6.6.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (8 x \cdot ((- 1) (x^{2} - 3)))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.2.8.6.6.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{8 x \cdot ((- 1) (x^{2} - 3))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.2.8.7

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.2.8.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{8 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{8 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$- \frac{8 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- \frac{8 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$- \frac{8 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = 0$

Paso 3.2

Establece el numerador igual a cero.

$8 x (x^{2} - 3) = 0$

Paso 3.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 3.3.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 3 = 0$

Paso 3.3.2

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 3.3.3

Establece $x^{2} - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.3.3.1

Establece $x^{2} - 3$ igual a $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Paso 3.3.3.2

Resuelve $x^{2} - 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.3.3.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 3$

Paso 3.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Paso 3.3.3.2.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.3.3.2.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{3}$

Paso 3.3.3.2.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{3}$

Paso 3.3.3.2.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Paso 3.3.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $8 x (x^{2} - 3) = 0$ verdadera.

$x = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 4.1

Sustituye $0$ en $f (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 1}{x^{2} + 1}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = \frac{{(0)}^{2} - 4 \cdot 0 + 1}{{(0)}^{2} + 1}$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = \frac{0 - 4 \cdot 0 + 1}{0^{2} + 1}$

Paso 4.1.2.1.2

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$f (0) = \frac{0 + 0 + 1}{0^{2} + 1}$

Paso 4.1.2.1.3

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = \frac{0 + 1}{0^{2} + 1}$

Paso 4.1.2.1.4

Suma $0$ y $1$ .

$f (0) = \frac{1}{0^{2} + 1}$

Paso 4.1.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = \frac{1}{0 + 1}$

Paso 4.1.2.2.2

Suma $0$ y $1$ .

$f (0) = \frac{1}{1}$

Paso 4.1.2.3

Divide $1$ por $1$ .

$f (0) = 1$

Paso 4.1.2.4

La respuesta final es $1$ .

$1$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $0$ en $f (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 1}{x^{2} + 1}$ es $(0, 1)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(0, 1)$

Paso 4.3

Sustituye $\sqrt{3}$ en $f (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 1}{x^{2} + 1}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $\sqrt{3}$ en la expresión.

$f (\sqrt{3}) = \frac{{(\sqrt{3})}^{2} - 4 \sqrt{3} + 1}{{(\sqrt{3})}^{2} + 1}$

Paso 4.3.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1.1

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 \sqrt{3} + 1}{{\sqrt{3}}^{2} + 1}$

Paso 4.3.2.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 \sqrt{3} + 1}{{\sqrt{3}}^{2} + 1}$

Paso 4.3.2.1.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}} - 4 \sqrt{3} + 1}{{\sqrt{3}}^{2} + 1}$

Paso 4.3.2.1.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.2.1.1.4.1

Cancela el factor común.

$f (\sqrt{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}} - 4 \sqrt{3} + 1}{{\sqrt{3}}^{2} + 1}$

Paso 4.3.2.1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\sqrt{3}) = \frac{3 - 4 \sqrt{3} + 1}{{\sqrt{3}}^{2} + 1}$

Paso 4.3.2.1.1.5

Evalúa el exponente.

$f (\sqrt{3}) = \frac{3 - 4 \sqrt{3} + 1}{{\sqrt{3}}^{2} + 1}$

Paso 4.3.2.1.2

Suma $3$ y $1$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 - 4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2} + 1}$

Paso 4.3.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.2.1

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 - 4 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1}$

Paso 4.3.2.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 - 4 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1}$

Paso 4.3.2.2.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 - 4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}} + 1}$

Paso 4.3.2.2.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.2.1.4.1

Cancela el factor común.

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 - 4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}} + 1}$

Paso 4.3.2.2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 - 4 \sqrt{3}}{3 + 1}$

Paso 4.3.2.2.1.5

Evalúa el exponente.

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 - 4 \sqrt{3}}{3 + 1}$

Paso 4.3.2.2.2

Suma $3$ y $1$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 - 4 \sqrt{3}}{4}$

Paso 4.3.2.3

Cancela el factor común de $4 - 4 \sqrt{3}$ y $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.3.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 \cdot 1 - 4 \sqrt{3}}{4}$

Paso 4.3.2.3.2

Factoriza $4$ de $- 4 \sqrt{3}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 \cdot 1 + 4 (- \sqrt{3})}{4}$

Paso 4.3.2.3.3

Factoriza $4$ de $4 (1) + 4 (- \sqrt{3})$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 (1 - \sqrt{3})}{4}$

Paso 4.3.2.3.4

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.3.4.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 (1 - \sqrt{3})}{4 (1)}$

Paso 4.3.2.3.4.2

Cancela el factor común.

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 (1 - \sqrt{3})}{4 \cdot 1}$

Paso 4.3.2.3.4.3

Reescribe la expresión.

$f (\sqrt{3}) = \frac{1 - \sqrt{3}}{1}$

Paso 4.3.2.3.4.4

Divide $1 - \sqrt{3}$ por $1$ .

$f (\sqrt{3}) = 1 - \sqrt{3}$

Paso 4.3.2.4

La respuesta final es $1 - \sqrt{3}$ .

$1 - \sqrt{3}$

Paso 4.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $\sqrt{3}$ en $f (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 1}{x^{2} + 1}$ es $(\sqrt{3}, 1 - \sqrt{3})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(\sqrt{3}, 1 - \sqrt{3})$

Paso 4.5

Sustituye $- \sqrt{3}$ en $f (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 1}{x^{2} + 1}$ para obtener el valor de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \sqrt{3}$ en la expresión.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{{(- \sqrt{3})}^{2} - 4 (- \sqrt{3}) + 1}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

Paso 4.5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.5.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{{(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} - 4 (- \sqrt{3}) + 1}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

Paso 4.5.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1 {\sqrt{3}}^{2} - 4 (- \sqrt{3}) + 1}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

Paso 4.5.2.1.3

Multiplica ${\sqrt{3}}^{2}$ por $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{{\sqrt{3}}^{2} - 4 (- \sqrt{3}) + 1}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

Paso 4.5.2.1.4

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.2.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 (- \sqrt{3}) + 1}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

Paso 4.5.2.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 (- \sqrt{3}) + 1}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

Paso 4.5.2.1.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}} - 4 (- \sqrt{3}) + 1}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

Paso 4.5.2.1.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.2.1.4.4.1

Cancela el factor común.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}} - 4 (- \sqrt{3}) + 1}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

Paso 4.5.2.1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3 - 4 (- \sqrt{3}) + 1}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

Paso 4.5.2.1.4.5

Evalúa el exponente.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3 - 4 (- \sqrt{3}) + 1}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

Paso 4.5.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3 + 4 \sqrt{3} + 1}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

Paso 4.5.2.1.6

Suma $3$ y $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 + 4 \sqrt{3}}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

Paso 4.5.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.2.2.1

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 + 4 \sqrt{3}}{{(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 1}$

Paso 4.5.2.2.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 + 4 \sqrt{3}}{1 {\sqrt{3}}^{2} + 1}$

Paso 4.5.2.2.3

Multiplica ${\sqrt{3}}^{2}$ por $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 + 4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2} + 1}$

Paso 4.5.2.2.4

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.2.2.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 + 4 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1}$

Paso 4.5.2.2.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 + 4 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1}$

Paso 4.5.2.2.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 + 4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}} + 1}$

Paso 4.5.2.2.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.2.2.4.4.1

Cancela el factor común.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 + 4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}} + 1}$

Paso 4.5.2.2.4.4.2

Reescribe la expresión.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 + 4 \sqrt{3}}{3 + 1}$

Paso 4.5.2.2.4.5

Evalúa el exponente.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 + 4 \sqrt{3}}{3 + 1}$

Paso 4.5.2.2.5

Suma $3$ y $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 + 4 \sqrt{3}}{4}$

Paso 4.5.2.3

Cancela el factor común de $4 + 4 \sqrt{3}$ y $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.2.3.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 \cdot 1 + 4 \sqrt{3}}{4}$

Paso 4.5.2.3.2

Factoriza $4$ de $4 \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 \cdot 1 + 4 (\sqrt{3})}{4}$

Paso 4.5.2.3.3

Factoriza $4$ de $4 (1) + 4 (\sqrt{3})$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 (1 + \sqrt{3})}{4}$

Paso 4.5.2.3.4

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.2.3.4.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 (1 + \sqrt{3})}{4 (1)}$

Paso 4.5.2.3.4.2

Cancela el factor común.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 (1 + \sqrt{3})}{4 \cdot 1}$

Paso 4.5.2.3.4.3

Reescribe la expresión.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1 + \sqrt{3}}{1}$

Paso 4.5.2.3.4.4

Divide $1 + \sqrt{3}$ por $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = 1 + \sqrt{3}$

Paso 4.5.2.4

La respuesta final es $1 + \sqrt{3}$ .

$1 + \sqrt{3}$

Paso 4.6

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- \sqrt{3}$ en $f (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 1}{x^{2} + 1}$ es $(- \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3})$

Paso 4.7

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(0, 1), (\sqrt{3}, 1 - \sqrt{3}), (- \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3})$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - \sqrt{3}) \cup (- \sqrt{3}, 0) \cup (0, \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - \sqrt{3})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1.8320508$ en la expresión.

$f'' (- 1.8320508) = - \frac{8 (- 1.8320508) ({(- 1.8320508)}^{2} - 3)}{{({(- 1.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Multiplica $8$ por $- 1.8320508$ .

$f'' (- 1.8320508) = - \frac{- 14.65640646 ({(- 1.8320508)}^{2} - 3)}{{({(- 1.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $- 14.65640646$ por ${(- 1.8320508)}^{2} - 3$ .

$f'' (- 1.8320508) = - \frac{- 5.22369219}{{({(- 1.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1

Eleva $- 1.8320508$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 1.8320508) = - \frac{- 5.22369219}{{(3.35641016 + 1)}^{3}}$

Paso 6.2.2.2

Suma $3.35641016$ y $1$ .

$f'' (- 1.8320508) = - \frac{- 5.22369219}{{4.35641016}^{3}}$

Paso 6.2.2.3

Eleva $4.35641016$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 1.8320508) = - \frac{- 5.22369219}{82.67730033}$

Paso 6.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 6.2.3.1

Divide $- 5.22369219$ por $82.67730033$ .

$f'' (- 1.8320508) = 0.06318169$

Paso 6.2.3.2

Multiplica $- 1$ por $- 0.06318169$ .

$f'' (- 1.8320508) = 0.06318169$

Paso 6.2.4

La respuesta final es $0.06318169$ .

$0.06318169$

Paso 6.3

En $- 1.8320508$ , la segunda derivada es $0.06318169$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \infty, - \sqrt{3})$ .

Incremento en $(- \infty, - \sqrt{3})$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- \sqrt{3}, 0)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.8660254$ en la expresión.

$f'' (- 0.8660254) = - \frac{8 (- 0.8660254) ({(- 0.8660254)}^{2} - 3)}{{({(- 0.8660254)}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Multiplica $8$ por $- 0.8660254$ .

$f'' (- 0.8660254) = - \frac{- 6.92820323 ({(- 0.8660254)}^{2} - 3)}{{({(- 0.8660254)}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $- 6.92820323$ por ${(- 0.8660254)}^{2} - 3$ .

$f'' (- 0.8660254) = - \frac{15.58845726}{{({(- 0.8660254)}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.1

Eleva $- 0.8660254$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 0.8660254) = - \frac{15.58845726}{{(0.75 + 1)}^{3}}$

Paso 7.2.2.2

Suma $0.75$ y $1$ .

$f'' (- 0.8660254) = - \frac{15.58845726}{{1.75}^{3}}$

Paso 7.2.2.3

Eleva $1.75$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 0.8660254) = - \frac{15.58845726}{5.359375}$

Paso 7.2.3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.3.1

Divide $15.58845726$ por $5.359375$ .

$f'' (- 0.8660254) = - 1 \cdot 2.90863342$

Paso 7.2.3.2

Multiplica $- 1$ por $2.90863342$ .

$f'' (- 0.8660254) = - 2.90863342$

Paso 7.2.4

La respuesta final es $- 2.90863342$ .

$- 2.90863342$

Paso 7.3

En $- 0.8660254$ , la segunda derivada es $- 2.90863342$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \sqrt{3}, 0)$ .

Decrecimiento en $(- \sqrt{3}, 0)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(0, \sqrt{3})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.8660254$ en la expresión.

$f'' (0.8660254) = - \frac{8 (0.8660254) ({(0.8660254)}^{2} - 3)}{{({(0.8660254)}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.1

Multiplica $8$ por $0.8660254$ .

$f'' (0.8660254) = - \frac{6.92820323 ({0.8660254}^{2} - 3)}{{({0.8660254}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $6.92820323$ por ${0.8660254}^{2} - 3$ .

$f'' (0.8660254) = - \frac{- 15.58845726}{{({0.8660254}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 8.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.2.1

Eleva $0.8660254$ a la potencia de $2$ .

$f'' (0.8660254) = - \frac{- 15.58845726}{{(0.75 + 1)}^{3}}$

Paso 8.2.2.2

Suma $0.75$ y $1$ .

$f'' (0.8660254) = - \frac{- 15.58845726}{{1.75}^{3}}$

Paso 8.2.2.3

Eleva $1.75$ a la potencia de $3$ .

$f'' (0.8660254) = - \frac{- 15.58845726}{5.359375}$

Paso 8.2.3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.3.1

Divide $- 15.58845726$ por $5.359375$ .

$f'' (0.8660254) = 2.90863342$

Paso 8.2.3.2

Multiplica $- 1$ por $- 2.90863342$ .

$f'' (0.8660254) = 2.90863342$

Paso 8.2.4

La respuesta final es $2.90863342$ .

$2.90863342$

Paso 8.3

En $0.8660254$ , la segunda derivada es $2.90863342$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(0, \sqrt{3})$ .

Incremento en $(0, \sqrt{3})$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 9

Sustituye un valor del intervalo $(\sqrt{3}, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 9.1

Reemplaza la variable $x$ con $1.8320508$ en la expresión.

$f'' (1.8320508) = - \frac{8 (1.8320508) ({(1.8320508)}^{2} - 3)}{{({(1.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 9.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1.1

Multiplica $8$ por $1.8320508$ .

$f'' (1.8320508) = - \frac{14.65640646 ({1.8320508}^{2} - 3)}{{({1.8320508}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 9.2.1.2

Multiplica $14.65640646$ por ${1.8320508}^{2} - 3$ .

$f'' (1.8320508) = - \frac{5.22369219}{{({1.8320508}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 9.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.2.1

Eleva $1.8320508$ a la potencia de $2$ .

$f'' (1.8320508) = - \frac{5.22369219}{{(3.35641016 + 1)}^{3}}$

Paso 9.2.2.2

Suma $3.35641016$ y $1$ .

$f'' (1.8320508) = - \frac{5.22369219}{{4.35641016}^{3}}$

Paso 9.2.2.3

Eleva $4.35641016$ a la potencia de $3$ .

$f'' (1.8320508) = - \frac{5.22369219}{82.67730033}$

Paso 9.2.3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.3.1

Divide $5.22369219$ por $82.67730033$ .

$f'' (1.8320508) = - 1 \cdot 0.06318169$

Paso 9.2.3.2

Multiplica $- 1$ por $0.06318169$ .

$f'' (1.8320508) = - 0.06318169$

Paso 9.2.4

La respuesta final es $- 0.06318169$ .

$- 0.06318169$

Paso 9.3

En $1.8320508$ , la segunda derivada es $- 0.06318169$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(\sqrt{3}, \infty)$ .

Decrecimiento en $(\sqrt{3}, \infty)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 10

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3}), (0, 1), (\sqrt{3}, 1 - \sqrt{3})$ .

$(- \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3}), (0, 1), (\sqrt{3}, 1 - \sqrt{3})$

Paso 11