Cálculo Ejemplos

$x e^{- \frac{x^{2}}{162}}$

Paso 1

Escribe $x e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ como una función.

$f (x) = x e^{- \frac{x^{2}}{162}}$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{162}}] + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - \frac{x^{2}}{162}$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- \frac{x^{2}}{162}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{162}]) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{162}]) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- \frac{x^{2}}{162}$ .

$x (e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{162}]) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1

Como $- \frac{1}{162}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{x^{2}}{162}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{162} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- \frac{1}{162} \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.2

Combina fracciones.

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Paso 2.3.2.1

Combina $e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ y $\frac{1}{162}$ .

$x (- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{162} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.2.2

Combina $x$ y $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{162}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{162} \frac{d}{d x} [x^{2}] + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{162} (2 x) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.4

Combina fracciones.

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Paso 2.3.4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{162} x + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.4.2

Combina $- 2$ y $\frac{x e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{162}$ .

$\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{162} x + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.4.3

Combina $\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{162}$ y $x$ .

$\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{162}}) x}{162} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{162} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x^{1} e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{162} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 2 (x^{1 + 1} e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{162} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.7

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 2.7.1

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- 2 (x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{162} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.7.2

Cancela el factor común de $- 2$ y $162$ .

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Paso 2.7.2.1

Factoriza $2$ de $- 2 x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ .

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{162} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.7.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.7.2.2.1

Factoriza $2$ de $162$ .

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{2 (81)} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.7.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{2 \cdot 81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.7.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.7.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \cdot 1$

Paso 2.9

Multiplica $e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ por $1$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}}$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81}] + \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{162}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81}) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $- \frac{1}{81}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{81} \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}}) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Paso 3.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - \frac{x^{2}}{162}$ .

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Paso 3.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $- \frac{x^{2}}{162}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (x^{2} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{162})) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Paso 3.2.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{162})) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Paso 3.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $- \frac{x^{2}}{162}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{162})) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Paso 3.2.4

Como $- \frac{1}{162}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{x^{2}}{162}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{162} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- \frac{1}{162} \cdot \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Paso 3.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- \frac{1}{162} \cdot (2 x))) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Paso 3.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- \frac{1}{162} \cdot (2 x))) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Paso 3.2.7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- 2 (\frac{1}{162}) \cdot x)) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Paso 3.2.8

Combina $- 2$ y $\frac{1}{162}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (\frac{- 2}{162} x)) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Paso 3.2.9

Combina $\frac{- 2}{162}$ y $x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (\frac{- 2 x}{162})) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Paso 3.2.10

Cancela el factor común de $- 2$ y $162$ .

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Paso 3.2.10.1

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (\frac{2 (- x)}{162})) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Paso 3.2.10.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.10.2.1

Factoriza $2$ de $162$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (\frac{2 (- x)}{2 (81)})) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Paso 3.2.10.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (\frac{2 (- x)}{2 \cdot 81})) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Paso 3.2.10.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (\frac{- x}{81})) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Paso 3.2.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- \frac{x}{81})) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Paso 3.2.12

Combina $e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ y $\frac{x}{81}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (x^{2} (- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{81}) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Paso 3.2.13

Combina $x^{2}$ y $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{81}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{162}} x)}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Paso 3.2.14

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.14.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x \cdot x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Paso 3.2.14.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 3.2.14.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x \cdot x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Paso 3.2.14.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x^{1 + 2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Paso 3.2.14.3

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{162}}]$ .

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Paso 3.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - \frac{x^{2}}{162}$ .

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Paso 3.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $- \frac{x^{2}}{162}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{162})$

Paso 3.3.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{162})$

Paso 3.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $- \frac{x^{2}}{162}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{162})$

Paso 3.3.2

Como $- \frac{1}{162}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{x^{2}}{162}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{162} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- \frac{1}{162} \cdot \frac{d}{d x} x^{2})$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- \frac{1}{162} \cdot (2 x))$

Paso 3.3.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- 2 (\frac{1}{162}) \cdot x)$

Paso 3.3.5

Combina $- 2$ y $\frac{1}{162}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (\frac{- 2}{162} x)$

Paso 3.3.6

Combina $\frac{- 2}{162}$ y $x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (\frac{- 2 x}{162})$

Paso 3.3.7

Cancela el factor común de $- 2$ y $162$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.7.1

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (\frac{2 (- x)}{162})$

Paso 3.3.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.7.2.1

Factoriza $2$ de $162$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (\frac{2 (- x)}{2 (81)})$

Paso 3.3.7.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (\frac{2 (- x)}{2 \cdot 81})$

Paso 3.3.7.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (\frac{- x}{81})$

Paso 3.3.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- \frac{x}{81})$

Paso 3.3.9

Combina $e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ y $\frac{x}{81}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{81}$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81}) - \frac{1}{81} \cdot (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{81}$

Paso 3.4.2

Combina los términos.

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Paso 3.4.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{1}{81}) \cdot \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} - \frac{1}{81} \cdot (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{81}$

Paso 3.4.2.2

Multiplica $\frac{1}{81}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{81} \cdot \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} - \frac{1}{81} \cdot (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{81}$

Paso 3.4.2.3

Multiplica $\frac{1}{81}$ por $\frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81 \cdot 81} - \frac{1}{81} \cdot (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{81}$

Paso 3.4.2.4

Multiplica $81$ por $81$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{6561} - \frac{1}{81} \cdot (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{81}$

Paso 3.4.2.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{6561} - 2 (\frac{1}{81}) \cdot (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (x)) - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{81}$

Paso 3.4.2.6

Combina $- 2$ y $\frac{1}{81}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{6561} + \frac{- 2}{81} \cdot (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (x)) - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{81}$

Paso 3.4.2.7

Combina $e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ y $\frac{- 2}{81}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{6561} + \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} \cdot - 2}{81} \cdot x - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{81}$

Paso 3.4.2.8

Combina $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} \cdot - 2}{81}$ y $x$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{6561} + \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} \cdot (- 2 x)}{81} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{81}$

Paso 3.4.2.9

Mueve $- 2$ a la izquierda de $e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{6561} + \frac{- 2 \cdot (e^{- \frac{x^{2}}{162}} x)}{81} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{81}$

Paso 3.4.2.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{6561} - \frac{2 e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{81} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{81}$

Paso 3.4.2.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{6561} + \frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{162}} x - e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{81}$

Paso 3.4.2.12

Resta $e^{- \frac{x^{2}}{162}} x$ de $- 2 e^{- \frac{x^{2}}{162}} x$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{6561} + \frac{- 3 e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{81}$

Paso 3.4.2.13

Cancela el factor común de $- 3$ y $81$ .

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Paso 3.4.2.13.1

Factoriza $3$ de $- 3 e^{- \frac{x^{2}}{162}} x$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{6561} + \frac{3 (- e^{- \frac{x^{2}}{162}} x)}{81}$

Paso 3.4.2.13.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.4.2.13.2.1

Factoriza $3$ de $81$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{6561} + \frac{3 (- e^{- \frac{x^{2}}{162}} x)}{3 (27)}$

Paso 3.4.2.13.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{6561} + \frac{3 (- e^{- \frac{x^{2}}{162}} x)}{3 \cdot 27}$

Paso 3.4.2.13.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{6561} + \frac{- e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{27}$

Paso 3.4.2.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{6561} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{27}$

Paso 3.4.3

Reordena los factores en $\frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{6561} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{27}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{6561} - \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{27}$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} = 0$

Paso 5

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1.1

$x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{162}}] + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - \frac{x^{2}}{162}$ .

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Paso 5.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- \frac{x^{2}}{162}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{162}]) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{162}]) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- \frac{x^{2}}{162}$ .

$x (e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{162}]) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.3

Diferencia.

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Paso 5.1.3.1

Como $- \frac{1}{162}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{x^{2}}{162}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{162} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- \frac{1}{162} \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.3.2

Combina fracciones.

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Paso 5.1.3.2.1

Combina $e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ y $\frac{1}{162}$ .

$x (- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{162} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.3.2.2

Combina $x$ y $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{162}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{162} \frac{d}{d x} [x^{2}] + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{162} (2 x) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.3.4

Combina fracciones.

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Paso 5.1.3.4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{162} x + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.3.4.2

Combina $- 2$ y $\frac{x e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{162}$ .

$\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{162} x + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.3.4.3

Combina $\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{162}$ y $x$ .

$\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{162}}) x}{162} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{162} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x^{1} e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{162} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 2 (x^{1 + 1} e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{162} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.7

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.1.7.1

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- 2 (x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{162} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.7.2

Cancela el factor común de $- 2$ y $162$ .

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Paso 5.1.7.2.1

Factoriza $2$ de $- 2 x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ .

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{162} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.7.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.1.7.2.2.1

Factoriza $2$ de $162$ .

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{2 (81)} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.7.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{2 \cdot 81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.7.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.7.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \cdot 1$

Paso 5.1.9

Multiplica $e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ por $1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}}$

Paso 5.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}}$

Paso 6

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} = 0$ .

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Paso 6.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} = 0$

Paso 6.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 6.2.1

Factoriza $e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ de $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ .

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Paso 6.2.1.1

Factoriza $e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ de $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- \frac{x^{2}}{81}) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} = 0$

Paso 6.2.1.2

Multiplica por $1$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- \frac{x^{2}}{81}) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \cdot 1 = 0$

Paso 6.2.1.3

Factoriza $e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ de $e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- \frac{x^{2}}{81}) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \cdot 1$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- \frac{x^{2}}{81} + 1) = 0$

Paso 6.2.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- \frac{x^{2}}{81} + 1^{2}) = 0$

Paso 6.2.3

Reescribe $\frac{x^{2}}{81}$ como ${(\frac{x}{9})}^{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- {(\frac{x}{9})}^{2} + 1^{2}) = 0$

Paso 6.2.4

Reordena $- {(\frac{x}{9})}^{2}$ y $1^{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{162}} (1^{2} - {(\frac{x}{9})}^{2}) = 0$

Paso 6.2.5

Factoriza.

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Paso 6.2.5.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = \frac{x}{9}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{162}} ((1 + \frac{x}{9}) (1 - \frac{x}{9})) = 0$

Paso 6.2.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$e^{- \frac{x^{2}}{162}} (1 + \frac{x}{9}) (1 - \frac{x}{9}) = 0$

Paso 6.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{162}} = 0$

$1 + \frac{x}{9} = 0$

$1 - \frac{x}{9} = 0$

Paso 6.4

Establece $e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.4.1

Establece $e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ igual a $0$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{162}} = 0$

Paso 6.4.2

Resuelve $e^{- \frac{x^{2}}{162}} = 0$ en $x$ .

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Paso 6.4.2.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{- \frac{x^{2}}{162}}) = \ln (0)$

Paso 6.4.2.2

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 6.4.2.3

No hay soluciones para $e^{- \frac{x^{2}}{162}} = 0$

No hay solución

Paso 6.5

Establece $1 + \frac{x}{9}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.5.1

Establece $1 + \frac{x}{9}$ igual a $0$ .

$1 + \frac{x}{9} = 0$

Paso 6.5.2

Resuelve $1 + \frac{x}{9} = 0$ en $x$ .

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Paso 6.5.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{x}{9} = - 1$

Paso 6.5.2.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $9$ .

$9 \frac{x}{9} = 9 \cdot - 1$

Paso 6.5.2.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 6.5.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.5.2.3.1.1

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 6.5.2.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$9 \frac{x}{9} = 9 \cdot - 1$

Paso 6.5.2.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x = 9 \cdot - 1$

Paso 6.5.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.5.2.3.2.1

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$x = - 9$

Paso 6.6

Establece $1 - \frac{x}{9}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.6.1

Establece $1 - \frac{x}{9}$ igual a $0$ .

$1 - \frac{x}{9} = 0$

Paso 6.6.2

Resuelve $1 - \frac{x}{9} = 0$ en $x$ .

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Paso 6.6.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{x}{9} = - 1$

Paso 6.6.2.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- 9$ .

$- 9 (- \frac{x}{9}) = - 9 \cdot - 1$

Paso 6.6.2.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 6.6.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.6.2.3.1.1

Simplifica $- 9 (- \frac{x}{9})$ .

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Paso 6.6.2.3.1.1.1

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 6.6.2.3.1.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x}{9}$ al numerador.

$- 9 \frac{- x}{9} = - 9 \cdot - 1$

Paso 6.6.2.3.1.1.1.2

Factoriza $9$ de $- 9$ .

$9 (- 1) \frac{- x}{9} = - 9 \cdot - 1$

Paso 6.6.2.3.1.1.1.3

Cancela el factor común.

$9 \cdot - 1 \frac{- x}{9} = - 9 \cdot - 1$

Paso 6.6.2.3.1.1.1.4

Reescribe la expresión.

$- - x = - 9 \cdot - 1$

Paso 6.6.2.3.1.1.2

Multiplica.

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Paso 6.6.2.3.1.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 x = - 9 \cdot - 1$

Paso 6.6.2.3.1.1.2.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$x = - 9 \cdot - 1$

Paso 6.6.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.6.2.3.2.1

Multiplica $- 9$ por $- 1$ .

$x = 9$

Paso 6.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $e^{- \frac{x^{2}}{162}} (1 + \frac{x}{9}) (1 - \frac{x}{9}) = 0$ verdadera.

$x = - 9, 9$

Paso 7

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 7.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 8

Puntos críticos para evaluar.

$x = - 9, 9$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada en $x = - 9$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{{(- 9)}^{3} e^{- \frac{{(- 9)}^{2}}{162}}}{6561} - \frac{(- 9) e^{- \frac{{(- 9)}^{2}}{162}}}{27}$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 10.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.1.1

Mueve $e^{- \frac{{(- 9)}^{2}}{162}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(- 9)}^{3}}{6561 e^{\frac{{(- 9)}^{2}}{162}}} - \frac{(- 9) e^{- \frac{{(- 9)}^{2}}{162}}}{27}$

Paso 10.1.2

Eleva $- 9$ a la potencia de $2$ .

$\frac{{(- 9)}^{3}}{6561 e^{\frac{81}{162}}} - \frac{(- 9) e^{- \frac{{(- 9)}^{2}}{162}}}{27}$

Paso 10.1.3

Eleva $- 9$ a la potencia de $3$ .

$\frac{- 729}{6561 e^{\frac{81}{162}}} - \frac{(- 9) e^{- \frac{{(- 9)}^{2}}{162}}}{27}$

Paso 10.1.4

Cancela el factor común de $81$ y $162$ .

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Paso 10.1.4.1

Factoriza $81$ de $81$ .

$\frac{- 729}{6561 e^{\frac{81 (1)}{162}}} - \frac{(- 9) e^{- \frac{{(- 9)}^{2}}{162}}}{27}$

Paso 10.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.1.4.2.1

Factoriza $81$ de $162$ .

$\frac{- 729}{6561 e^{\frac{81 \cdot 1}{81 \cdot 2}}} - \frac{(- 9) e^{- \frac{{(- 9)}^{2}}{162}}}{27}$

Paso 10.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 729}{6561 e^{\frac{81 \cdot 1}{81 \cdot 2}}} - \frac{(- 9) e^{- \frac{{(- 9)}^{2}}{162}}}{27}$

Paso 10.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 729}{6561 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{(- 9) e^{- \frac{{(- 9)}^{2}}{162}}}{27}$

Paso 10.1.5

Factoriza $729$ de $- 729$ .

$\frac{729 (- 1)}{6561 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{(- 9) e^{- \frac{{(- 9)}^{2}}{162}}}{27}$

Paso 10.1.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.1.6.1

Factoriza $729$ de $6561 e^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{729 (- 1)}{729 (9 e^{\frac{1}{2}})} - \frac{(- 9) e^{- \frac{{(- 9)}^{2}}{162}}}{27}$

Paso 10.1.6.2

Cancela el factor común.

$\frac{729 \cdot - 1}{729 (9 e^{\frac{1}{2}})} - \frac{(- 9) e^{- \frac{{(- 9)}^{2}}{162}}}{27}$

Paso 10.1.6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{(- 9) e^{- \frac{{(- 9)}^{2}}{162}}}{27}$

Paso 10.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{(- 9) e^{- \frac{{(- 9)}^{2}}{162}}}{27}$

Paso 10.1.8

Mueve $e^{- \frac{{(- 9)}^{2}}{162}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 9}{27 e^{\frac{{(- 9)}^{2}}{162}}}$

Paso 10.1.9

Factoriza $9$ de $- 9$ .

$- \frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{9 (- 1)}{27 e^{\frac{{(- 9)}^{2}}{162}}}$

Paso 10.1.10

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1.10.1

Factoriza $9$ de $27 e^{\frac{{(- 9)}^{2}}{162}}$ .

$- \frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{9 (- 1)}{9 (3 e^{\frac{{(- 9)}^{2}}{162}})}$

Paso 10.1.10.2

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{9 \cdot - 1}{9 (3 e^{\frac{{(- 9)}^{2}}{162}})}$

Paso 10.1.10.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 1}{3 e^{\frac{{(- 9)}^{2}}{162}}}$

Paso 10.1.11

Eleva $- 9$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 1}{3 e^{\frac{81}{162}}}$

Paso 10.1.12

Cancela el factor común de $81$ y $162$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1.12.1

Factoriza $81$ de $81$ .

$- \frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 1}{3 e^{\frac{81 (1)}{162}}}$

Paso 10.1.12.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1.12.2.1

Factoriza $81$ de $162$ .

$- \frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 1}{3 e^{\frac{81 \cdot 1}{81 \cdot 2}}}$

Paso 10.1.12.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 1}{3 e^{\frac{81 \cdot 1}{81 \cdot 2}}}$

Paso 10.1.12.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.1.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - - \frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.1.14

Multiplica $- - \frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$ .

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Paso 10.1.14.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.1.14.2

Multiplica $\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$- \frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.2

Para escribir $\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 10.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $9 e^{\frac{1}{2}}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.3.1

Multiplica $\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{3 e^{\frac{1}{2}} \cdot 3}$

Paso 10.3.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$- \frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{9 e^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 1 + 3}{9 e^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.5

Suma $- 1$ y $3$ .

$\frac{2}{9 e^{\frac{1}{2}}}$

Paso 11

$x = - 9$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = - 9$ es un mínimo local

Paso 12

Obtén el valor de y cuando $x = - 9$ .

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Paso 12.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 9$ en la expresión.

$f (- 9) = (- 9) \cdot e^{- \frac{{(- 9)}^{2}}{162}}$

Paso 12.2

Simplifica el resultado.

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Paso 12.2.1

Eleva $- 9$ a la potencia de $2$ .

$f (- 9) = - 9 \cdot e^{- \frac{81}{162}}$

Paso 12.2.2

Cancela el factor común de $81$ y $162$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.2.1

Factoriza $81$ de $81$ .

$f (- 9) = - 9 \cdot e^{- \frac{81 (1)}{162}}$

Paso 12.2.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.2.2.1

Factoriza $81$ de $162$ .

$f (- 9) = - 9 \cdot e^{- \frac{81 \cdot 1}{81 \cdot 2}}$

Paso 12.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$f (- 9) = - 9 \cdot e^{- \frac{81 \cdot 1}{81 \cdot 2}}$

Paso 12.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- 9) = - 9 \cdot e^{- \frac{1}{2}}$

Paso 12.2.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 9) = - 9 \cdot \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Paso 12.2.4

Combina $- 9$ y $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$f (- 9) = \frac{- 9}{e^{\frac{1}{2}}}$

Paso 12.2.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- 9) = - \frac{9}{e^{\frac{1}{2}}}$

Paso 12.2.6

La respuesta final es $- \frac{9}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$y = - \frac{9}{e^{\frac{1}{2}}}$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada en $x = 9$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{{(9)}^{3} e^{- \frac{{(9)}^{2}}{162}}}{6561} - \frac{(9) e^{- \frac{{(9)}^{2}}{162}}}{27}$

Paso 14

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 14.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1.1

Mueve $e^{- \frac{{(9)}^{2}}{162}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(9)}^{3}}{6561 e^{\frac{9^{2}}{162}}} - \frac{(9) e^{- \frac{{(9)}^{2}}{162}}}{27}$

Paso 14.1.2

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$\frac{9^{3}}{6561 e^{\frac{81}{162}}} - \frac{(9) e^{- \frac{{(9)}^{2}}{162}}}{27}$

Paso 14.1.3

Eleva $9$ a la potencia de $3$ .

$\frac{729}{6561 e^{\frac{81}{162}}} - \frac{(9) e^{- \frac{{(9)}^{2}}{162}}}{27}$

Paso 14.1.4

Cancela el factor común de $81$ y $162$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1.4.1

Factoriza $81$ de $81$ .

$\frac{729}{6561 e^{\frac{81 (1)}{162}}} - \frac{(9) e^{- \frac{{(9)}^{2}}{162}}}{27}$

Paso 14.1.4.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1.4.2.1

Factoriza $81$ de $162$ .

$\frac{729}{6561 e^{\frac{81 \cdot 1}{81 \cdot 2}}} - \frac{(9) e^{- \frac{{(9)}^{2}}{162}}}{27}$

Paso 14.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{729}{6561 e^{\frac{81 \cdot 1}{81 \cdot 2}}} - \frac{(9) e^{- \frac{{(9)}^{2}}{162}}}{27}$

Paso 14.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{729}{6561 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{(9) e^{- \frac{{(9)}^{2}}{162}}}{27}$

Paso 14.1.5

Factoriza $729$ de $729$ .

$\frac{729 (1)}{6561 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{(9) e^{- \frac{{(9)}^{2}}{162}}}{27}$

Paso 14.1.6

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1.6.1

Factoriza $729$ de $6561 e^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{729 (1)}{729 (9 e^{\frac{1}{2}})} - \frac{(9) e^{- \frac{{(9)}^{2}}{162}}}{27}$

Paso 14.1.6.2

Cancela el factor común.

$\frac{729 \cdot 1}{729 (9 e^{\frac{1}{2}})} - \frac{(9) e^{- \frac{{(9)}^{2}}{162}}}{27}$

Paso 14.1.6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{(9) e^{- \frac{{(9)}^{2}}{162}}}{27}$

Paso 14.1.7

Mueve $e^{- \frac{{(9)}^{2}}{162}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{9}{27 e^{\frac{9^{2}}{162}}}$

Paso 14.1.8

Factoriza $9$ de $9$ .

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{9 (1)}{27 e^{\frac{9^{2}}{162}}}$

Paso 14.1.9

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1.9.1

Factoriza $9$ de $27 e^{\frac{9^{2}}{162}}$ .

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{9 (1)}{9 (3 e^{\frac{9^{2}}{162}})}$

Paso 14.1.9.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{9 \cdot 1}{9 (3 e^{\frac{9^{2}}{162}})}$

Paso 14.1.9.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3 e^{\frac{9^{2}}{162}}}$

Paso 14.1.10

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3 e^{\frac{81}{162}}}$

Paso 14.1.11

Cancela el factor común de $81$ y $162$ .

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Paso 14.1.11.1

Factoriza $81$ de $81$ .

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3 e^{\frac{81 (1)}{162}}}$

Paso 14.1.11.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1.11.2.1

Factoriza $81$ de $162$ .

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3 e^{\frac{81 \cdot 1}{81 \cdot 2}}}$

Paso 14.1.11.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3 e^{\frac{81 \cdot 1}{81 \cdot 2}}}$

Paso 14.1.11.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$

Paso 14.2

Para escribir $- \frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 14.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $9 e^{\frac{1}{2}}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.3.1

Multiplica $\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{3 e^{\frac{1}{2}} \cdot 3}$

Paso 14.3.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{9 e^{\frac{1}{2}}}$

Paso 14.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 - 3}{9 e^{\frac{1}{2}}}$

Paso 14.5

Resta $3$ de $1$ .

$\frac{- 2}{9 e^{\frac{1}{2}}}$

Paso 14.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{9 e^{\frac{1}{2}}}$

Paso 15

$x = 9$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = 9$ es un máximo local

Paso 16

Obtén el valor de y cuando $x = 9$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 16.1

Reemplaza la variable $x$ con $9$ en la expresión.

$f (9) = (9) \cdot e^{- \frac{{(9)}^{2}}{162}}$

Paso 16.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 16.2.1

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$f (9) = 9 \cdot e^{- \frac{81}{162}}$

Paso 16.2.2

Cancela el factor común de $81$ y $162$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 16.2.2.1

Factoriza $81$ de $81$ .

$f (9) = 9 \cdot e^{- \frac{81 (1)}{162}}$

Paso 16.2.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 16.2.2.2.1

Factoriza $81$ de $162$ .

$f (9) = 9 \cdot e^{- \frac{81 \cdot 1}{81 \cdot 2}}$

Paso 16.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$f (9) = 9 \cdot e^{- \frac{81 \cdot 1}{81 \cdot 2}}$

Paso 16.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f (9) = 9 \cdot e^{- \frac{1}{2}}$

Paso 16.2.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (9) = 9 \cdot \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Paso 16.2.4

Combina $9$ y $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$f (9) = \frac{9}{e^{\frac{1}{2}}}$

Paso 16.2.5

La respuesta final es $\frac{9}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$y = \frac{9}{e^{\frac{1}{2}}}$

Paso 17

Estos son los extremos locales de $f (x) = x e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ .

$(- 9, - \frac{9}{e^{\frac{1}{2}}})$ es un mínimo local

$(9, \frac{9}{e^{\frac{1}{2}}})$ es un máximo local

Paso 18