Cálculo Ejemplos

$\sqrt{x} - \sqrt{x^{3}}$

Paso 1

Escribe $\sqrt{x} - \sqrt{x^{3}}$ como una función.

$f (x) = \sqrt{x} - \sqrt{x^{3}}$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\sqrt{x} - \sqrt{x^{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

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Paso 2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Paso 2.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Paso 2.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Paso 2.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Paso 2.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Paso 2.2.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Paso 2.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$ .

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Paso 2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{3}}$ como $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 2.3.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Paso 2.3.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 2.3.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 2.3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 2.3.7

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Paso 2.3.7.2

Resta $2$ de $3$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Paso 2.3.8

Combina $\frac{3}{2}$ y $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 2.4.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Paso 3.2.2

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ como ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Paso 3.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 3.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Paso 3.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Paso 3.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Paso 3.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Paso 3.2.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

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Paso 3.2.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Paso 3.2.5.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.5.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Paso 3.2.5.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Paso 3.2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Paso 3.2.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Paso 3.2.7

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Paso 3.2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Paso 3.2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.9.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Paso 3.2.9.2

Resta $2$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Paso 3.2.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Paso 3.2.11

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Paso 3.2.12

Combina $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ y $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Paso 3.2.13

Multiplica $x^{- \frac{1}{2}}$ por $x^{- 1}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.13.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Paso 3.2.13.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Paso 3.2.13.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Paso 3.2.13.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Paso 3.2.13.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.13.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Paso 3.2.13.5.2

Resta $2$ de $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Paso 3.2.13.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Paso 3.2.14

Mueve $x^{- \frac{3}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Paso 3.2.15

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2 (2 x^{\frac{3}{2}})} + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Paso 3.2.16

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $- \frac{3}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Paso 3.3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 3.3.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 3.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 3.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Paso 3.3.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Paso 3.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Paso 3.3.8

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 3.3.9

Multiplica $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ por $\frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Paso 3.3.10

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 3}{4}$

Paso 3.3.11

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{4}$

Paso 3.3.12

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} = 0$

Paso 5

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\sqrt{x} - \sqrt{x^{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Paso 5.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

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Paso 5.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Paso 5.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Paso 5.1.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Paso 5.1.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Paso 5.1.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Paso 5.1.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Paso 5.1.2.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Paso 5.1.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Paso 5.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$ .

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Paso 5.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{3}}$ como $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 5.1.3.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 5.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Paso 5.1.3.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 5.1.3.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 5.1.3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 5.1.3.7

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.3.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Paso 5.1.3.7.2

Resta $2$ de $3$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Paso 5.1.3.8

Combina $\frac{3}{2}$ y $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 5.1.4

Simplifica.

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Paso 5.1.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 5.1.4.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 5.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 6

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} = 0$ .

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Paso 6.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} = 0$

Paso 6.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 6.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$2 x^{\frac{1}{2}}, 2, 1$

Paso 6.2.2

Como $2 x^{\frac{1}{2}}, 2, 1$ contiene tanto números como variables, hay dos pasos para obtener el MCM. Obtén el MCM para la parte numérica $2, 2, 1$ y, luego, obtén el MCM para la parte variable $x^{\frac{1}{2}}$ .

Paso 6.2.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 6.2.4

Como $2$ no tiene factores además de $1$ y $2$ .

$2$ es un número primo

Paso 6.2.5

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 6.2.6

El MCM de $2, 2, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$2$

Paso 6.2.7

El MCM de $x^{\frac{1}{2}}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$x^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.2.8

El MCM para $2 x^{\frac{1}{2}}, 2, 1$ es la parte numérica $2$ multiplicada por la parte variable.

$2 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.3

Multiplica cada término en $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} = 0$ por $2 x^{\frac{1}{2}}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 6.3.1

Multiplica cada término en $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} = 0$ por $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.2.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.2.1.3

Cancela el factor común de $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 6.3.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$1 - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.2.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.2.1.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ al numerador.

$1 + \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.2.1.4.2

Factoriza $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}}}{2} (2 (x^{\frac{1}{2}})) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.2.1.4.3

Cancela el factor común.

$1 + \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.2.1.4.4

Reescribe la expresión.

$1 - 3 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.2.1.5

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.3.2.1.5.1

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ .

$1 - 3 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.2.1.5.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$1 - 3 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.2.1.5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$1 - 3 x^{\frac{1 + 1}{2}} = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.2.1.5.4

Suma $1$ y $1$ .

$1 - 3 x^{\frac{2}{2}} = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.2.1.5.5

Divide $2$ por $2$ .

$1 - 3 x^{1} = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.2.1.6

Simplifica $- 3 x^{1}$ .

$1 - 3 x = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.3.1

Multiplica $0 (2 x^{\frac{1}{2}})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.3.1.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$1 - 3 x = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.3.3.1.2

Multiplica $0$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

$1 - 3 x = 0$

Paso 6.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 6.4.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 3 x = - 1$

Paso 6.4.2

Divide cada término en $- 3 x = - 1$ por $- 3$ y simplifica.

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Paso 6.4.2.1

Divide cada término en $- 3 x = - 1$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Paso 6.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.4.2.2.1

Cancela el factor común de $- 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Paso 6.4.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 3}$

Paso 6.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.4.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{1}{3}$

Paso 7

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 7.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 7.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{1}{2 \sqrt{x^{1}}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 7.1.2

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{1}{2 \sqrt{x^{1}}} - \frac{3 \sqrt{x^{1}}}{2}$

Paso 7.1.3

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$\frac{1}{2 \sqrt{x}} - \frac{3 \sqrt{x^{1}}}{2}$

Paso 7.1.4

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$\frac{1}{2 \sqrt{x}} - \frac{3 \sqrt{x}}{2}$

Paso 7.2

Establece el denominador en $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$2 \sqrt{x} = 0$

Paso 7.3

Resuelve $x$

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Paso 7.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(2 \sqrt{x})}^{2} = 0^{2}$

Paso 7.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 7.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 7.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.3.2.2.1

Simplifica ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 7.3.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 7.3.2.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 7.3.2.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 7.3.2.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 7.3.2.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.3.2.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 7.3.2.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$4 x^{1} = 0^{2}$

Paso 7.3.2.2.1.4

Simplifica.

$4 x = 0^{2}$

Paso 7.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$4 x = 0$

Paso 7.3.3

Divide cada término en $4 x = 0$ por $4$ y simplifica.

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Paso 7.3.3.1

Divide cada término en $4 x = 0$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 7.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.3.3.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 7.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 7.3.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Paso 7.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.3.3.1

Divide $0$ por $4$ .

$x = 0$

Paso 7.4

Establece el radicando en $\sqrt{x}$ menor que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x < 0$

Paso 7.5

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Paso 8

Puntos críticos para evaluar.

$x = \frac{1}{3}, 0$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{1}{3}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{1}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{3}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 10.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.1.1

Simplifica el denominador.

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Paso 10.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{4 \frac{1^{\frac{3}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}}} - \frac{3}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.1.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{1}{4 \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}} - \frac{3}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.1.2

Combina $4$ y $\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{3^{\frac{3}{2}}}} - \frac{3}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.1.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- (1 \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4}) - \frac{3}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.1.4

Multiplica $\frac{3^{\frac{3}{2}}}{4}$ por $1$ .

$- \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{3}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.1.5

Simplifica el denominador.

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Paso 10.1.5.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{3}{4 \frac{1^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 10.1.5.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{3}{4 \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 10.1.6

Combina $4$ y $\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{3}{\frac{4}{3^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 10.1.7

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} - (3 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{4})$

Paso 10.1.8

Multiplica $3 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{4}$ .

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Paso 10.1.8.1

Combina $3$ y $\frac{3^{\frac{1}{2}}}{4}$ .

$- \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{3 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{4}$

Paso 10.1.8.2

Multiplica $3$ por $3^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 10.1.8.2.1

Multiplica $3$ por $3^{\frac{1}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1.8.2.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{3^{1} \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{4}$

Paso 10.1.8.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{3^{1 + \frac{1}{2}}}{4}$

Paso 10.1.8.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$- \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{3^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{4}$

Paso 10.1.8.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{3^{\frac{2 + 1}{2}}}{4}$

Paso 10.1.8.2.4

Suma $2$ y $1$ .

$- \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4}$

Paso 10.2

Simplifica los términos.

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Paso 10.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 3^{\frac{3}{2}} - 3^{\frac{3}{2}}}{4}$

Paso 10.2.2

Resta $3^{\frac{3}{2}}$ de $- 3^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{4}$

Paso 10.2.3

Factoriza $2$ de $- 2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (- 3^{\frac{3}{2}})}{4}$

Paso 10.3

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.3.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 (- 3^{\frac{3}{2}})}{2 (2)}$

Paso 10.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- 3^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 2}$

Paso 10.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 3^{\frac{3}{2}}}{2}$

Paso 10.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3^{\frac{3}{2}}}{2}$

Paso 11

$x = \frac{1}{3}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = \frac{1}{3}$ es un máximo local

Paso 12

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{1}{3}$ .

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Paso 12.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{1}{3}$ en la expresión.

$f (\frac{1}{3}) = \sqrt{\frac{1}{3}} - \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{3}}$

Paso 12.2

Simplifica el resultado.

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Paso 12.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (\frac{1}{3}) = \sqrt{\frac{1}{3}} - \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{3}}$

Paso 12.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 12.2.2.1

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{3}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}} - \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{3}}$

Paso 12.2.2.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{\sqrt{3}} - \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{3}}$

Paso 12.2.2.3

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} - \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{3}}$

Paso 12.2.2.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 12.2.2.4.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} - \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{3}}$

Paso 12.2.2.4.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} - \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{3}}$

Paso 12.2.2.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} - \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{3}}$

Paso 12.2.2.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} - \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{3}}$

Paso 12.2.2.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} - \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{3}}$

Paso 12.2.2.4.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 12.2.2.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} - \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{3}}$

Paso 12.2.2.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{3}}$

Paso 12.2.2.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} - \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{3}}$

Paso 12.2.2.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 12.2.2.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} - \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{3}}$

Paso 12.2.2.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{3}}$

Paso 12.2.2.4.6.5

Evalúa el exponente.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{3}}$

Paso 12.2.2.5

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \sqrt{\frac{1^{3}}{3^{3}}}$

Paso 12.2.2.6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \sqrt{\frac{1}{3^{3}}}$

Paso 12.2.2.7

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \sqrt{\frac{1}{27}}$

Paso 12.2.2.8

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{27}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{27}}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{27}}$

Paso 12.2.2.9

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{1}{\sqrt{27}}$

Paso 12.2.2.10

Simplifica el denominador.

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Paso 12.2.2.10.1

Reescribe $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.2.10.1.1

Factoriza $9$ de $27$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{1}{\sqrt{9 (3)}}$

Paso 12.2.2.10.1.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{1}{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}$

Paso 12.2.2.10.2

Retira los términos de abajo del radical.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{1}{3 \sqrt{3}}$

Paso 12.2.2.11

Multiplica $\frac{1}{3 \sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - (\frac{1}{3 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Paso 12.2.2.12

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 12.2.2.12.1

Multiplica $\frac{1}{3 \sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 12.2.2.12.2

Mueve $\sqrt{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Paso 12.2.2.12.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Paso 12.2.2.12.4

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Paso 12.2.2.12.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 12.2.2.12.6

Suma $1$ y $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3 {\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 12.2.2.12.7

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 12.2.2.12.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 12.2.2.12.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 12.2.2.12.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 12.2.2.12.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 12.2.2.12.7.4.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 12.2.2.12.7.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3 \cdot 3}$

Paso 12.2.2.12.7.5

Evalúa el exponente.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3 \cdot 3}$

Paso 12.2.2.13

Multiplica $3$ por $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{9}$

Paso 12.2.3

Para escribir $\frac{\sqrt{3}}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{\sqrt{3}}{9}$

Paso 12.2.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $9$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 12.2.4.1

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{\sqrt{3}}{9}$

Paso 12.2.4.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{9} - \frac{\sqrt{3}}{9}$

Paso 12.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3}}{9}$

Paso 12.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 12.2.6.1

Mueve $3$ a la izquierda de $\sqrt{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{3 \cdot \sqrt{3} - \sqrt{3}}{9}$

Paso 12.2.6.2

Resta $\sqrt{3}$ de $3 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{2 \sqrt{3}}{9}$

Paso 12.2.7

La respuesta final es $\frac{2 \sqrt{3}}{9}$ .

$y = \frac{2 \sqrt{3}}{9}$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{1}{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{3}{4 {(0)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 14

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 14.1

Simplifica la expresión.

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Paso 14.1.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$- \frac{1}{4 {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{3}{4 {(0)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 14.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}} - \frac{3}{4 {(0)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 14.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 14.2.1

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}} - \frac{3}{4 {(0)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 14.2.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{4 \cdot 0^{3}} - \frac{3}{4 {(0)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 14.3

Simplifica la expresión.

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Paso 14.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 0} - \frac{3}{4 {(0)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 14.3.2

Multiplica $4$ por $0$ .

$- \frac{1}{0} - \frac{3}{4 {(0)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 14.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$- \frac{1}{0} - \frac{3}{4 {(0)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 14.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 15

Como la prueba de la primera derivada falló, no hay extremos locales.

No hay extremos locales

Paso 16