Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{2} + 100}{x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2} + 100$ y $g (x) = x$ .

$f' (x) = \frac{x \frac{d}{d x} (x^{2} + 100) - (x^{2} + 100) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 100$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [100]$ .

$f' (x) = \frac{x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (100)) - (x^{2} + 100) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x (2 x + \frac{d}{d x} (100)) - (x^{2} + 100) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Paso 1.1.2.3

Como $100$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $100$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 100) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Paso 1.1.2.4

Suma $2 x$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{x (2 x) - (x^{2} + 100) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Paso 1.1.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) - (x^{2} + 100) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Paso 1.1.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) - (x^{2} + 100) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Paso 1.1.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 100) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Paso 1.1.6

Suma $1$ y $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 100) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Paso 1.1.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 100) \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 1.1.8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 100)}{x^{2}}$

Paso 1.1.9

Simplifica.

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Paso 1.1.9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 100}{x^{2}}$

Paso 1.1.9.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.9.2.1

Multiplica $- 1$ por $100$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - x^{2} - 100}{x^{2}}$

Paso 1.1.9.2.2

Resta $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 100}{x^{2}}$

Paso 1.1.9.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.9.3.1

Reescribe $100$ como $10^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 10^{2}}{x^{2}}$

Paso 1.1.9.3.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 10$ .

$f' (x) = \frac{(x + 10) (x - 10)}{x^{2}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{(x + 10) (x - 10)}{x^{2}}$ .

$\frac{(x + 10) (x - 10)}{x^{2}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{(x + 10) (x - 10)}{x^{2}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{(x + 10) (x - 10)}{x^{2}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$(x + 10) (x - 10) = 0$

Paso 2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.3.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 10 = 0$

$x - 10 = 0$

Paso 2.3.2

Establece $x + 10$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.2.1

Establece $x + 10$ igual a $0$ .

$x + 10 = 0$

Paso 2.3.2.2

Resta $10$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 10$

Paso 2.3.3

Establece $x - 10$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.3.1

Establece $x - 10$ igual a $0$ .

$x - 10 = 0$

Paso 2.3.3.2

Suma $10$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 10$

Paso 2.3.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 10) (x - 10) = 0$ verdadera.

$x = - 10, 10$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $- 10, 10$ .

$- 10, 10$

Paso 4

Obtén dónde la derivada es indefinida.

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Paso 4.1

Establece el denominador en $\frac{(x + 10) (x - 10)}{x^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} = 0$

Paso 4.2

Resuelve $x$

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Paso 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 4.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 4.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 4.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 4.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 10) \cup (- 10, 0) \cup (0, 10) \cup (10, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 10)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 11$ en la expresión.

$f' (- 11) = \frac{((- 11) + 10) ((- 11) - 10)}{{(- 11)}^{2}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.1.1

Suma $- 11$ y $10$ .

$f' (- 11) = \frac{- 1 (- 11 - 10)}{{(- 11)}^{2}}$

Paso 6.2.1.2

Resta $10$ de $- 11$ .

$f' (- 11) = \frac{- 1 \cdot - 21}{{(- 11)}^{2}}$

Paso 6.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 6.2.2.1

Eleva $- 11$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 11) = \frac{- 1 \cdot - 21}{121}$

Paso 6.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 21$ .

$f' (- 11) = \frac{21}{121}$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $\frac{21}{121}$ .

$\frac{21}{121}$

Paso 6.3

En $x = - 11$ la derivada es $\frac{21}{121}$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, - 10)$ .

Incremento en $(- \infty, - 10)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 10, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 5$ en la expresión.

$f' (- 5) = \frac{((- 5) + 10) ((- 5) - 10)}{{(- 5)}^{2}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.1.1

Suma $- 5$ y $10$ .

$f' (- 5) = \frac{5 (- 5 - 10)}{{(- 5)}^{2}}$

Paso 7.2.1.2

Resta $10$ de $- 5$ .

$f' (- 5) = \frac{5 \cdot - 15}{{(- 5)}^{2}}$

Paso 7.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 7.2.2.1

Eleva $- 5$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 5) = \frac{5 \cdot - 15}{25}$

Paso 7.2.2.2

Multiplica $5$ por $- 15$ .

$f' (- 5) = \frac{- 75}{25}$

Paso 7.2.2.3

Divide $- 75$ por $25$ .

$f' (- 5) = - 3$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $- 3$ .

$- 3$

Paso 7.3

En $x = - 5$ la derivada es $- 3$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- 10, 0)$ .

Decrecimiento en $(- 10, 0)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(0, 10)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $5$ en la expresión.

$f' (5) = \frac{((5) + 10) ((5) - 10)}{{(5)}^{2}}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.1.1

Suma $5$ y $10$ .

$f' (5) = \frac{15 (5 - 10)}{5^{2}}$

Paso 8.2.1.2

Resta $10$ de $5$ .

$f' (5) = \frac{15 \cdot - 5}{5^{2}}$

Paso 8.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 8.2.2.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$f' (5) = \frac{15 \cdot - 5}{25}$

Paso 8.2.2.2

Multiplica $15$ por $- 5$ .

$f' (5) = \frac{- 75}{25}$

Paso 8.2.2.3

Divide $- 75$ por $25$ .

$f' (5) = - 3$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $- 3$ .

$- 3$

Paso 8.3

En $x = 5$ la derivada es $- 3$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(0, 10)$ .

Decrecimiento en $(0, 10)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 9

Sustituye un valor del intervalo $(10, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 9.1

Reemplaza la variable $x$ con $11$ en la expresión.

$f' (11) = \frac{((11) + 10) ((11) - 10)}{{(11)}^{2}}$

Paso 9.2

Simplifica el resultado.

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Paso 9.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 9.2.1.1

Suma $11$ y $10$ .

$f' (11) = \frac{21 (11 - 10)}{11^{2}}$

Paso 9.2.1.2

Resta $10$ de $11$ .

$f' (11) = \frac{21 \cdot 1}{11^{2}}$

Paso 9.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 9.2.2.1

Eleva $11$ a la potencia de $2$ .

$f' (11) = \frac{21 \cdot 1}{121}$

Paso 9.2.2.2

Multiplica $21$ por $1$ .

$f' (11) = \frac{21}{121}$

Paso 9.2.3

La respuesta final es $\frac{21}{121}$ .

$\frac{21}{121}$

Paso 9.3

En $x = 11$ la derivada es $\frac{21}{121}$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(10, \infty)$ .

Incremento en $(10, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 10

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, - 10), (10, \infty)$

Decrecimiento en: $(- 10, 0), (0, 10)$

Paso 11