Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{4 x^{2}}{x - 3}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{4 x^{2}}{x - 3}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x - 3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x - 3}]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x - 3$ .

$4 \frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 \frac{(x - 3) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x - 3$ .

$4 \frac{2 \cdot (x - 3) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$4 \frac{2 (x - 3) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \frac{2 (x - 3) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 \frac{2 (x - 3) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.3.6

Combina fracciones.

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Paso 1.1.3.6.1

Suma $1$ y $0$ .

$4 \frac{2 (x - 3) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.3.6.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$4 \frac{2 (x - 3) x - x^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.3.6.3

Combina $4$ y $\frac{2 (x - 3) x - x^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{4 (2 (x - 3) x - x^{2})}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.4

Simplifica.

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Paso 1.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 ((2 x + 2 \cdot - 3) x - x^{2})}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 (2 x \cdot x + 2 \cdot - 3 x - x^{2})}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 (2 x \cdot x) + 4 (2 \cdot - 3 x) + 4 (- x^{2})}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.4.4

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.4.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.4.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.4.4.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{4 (2 (x \cdot x)) + 4 (2 \cdot - 3 x) + 4 (- x^{2})}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.4.4.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{4 (2 x^{2}) + 4 (2 \cdot - 3 x) + 4 (- x^{2})}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.4.4.1.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{8 x^{2} + 4 (2 \cdot - 3 x) + 4 (- x^{2})}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.4.4.1.3

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$\frac{8 x^{2} + 4 (- 6 x) + 4 (- x^{2})}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.4.4.1.4

Multiplica $- 6$ por $4$ .

$\frac{8 x^{2} - 24 x + 4 (- x^{2})}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.4.4.1.5

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{8 x^{2} - 24 x - 4 x^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.4.4.2

Resta $4 x^{2}$ de $8 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} - 24 x}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.4.5

Factoriza $4 x$ de $4 x^{2} - 24 x$ .

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Paso 1.1.4.5.1

Factoriza $4 x$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{4 x (x) - 24 x}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.4.5.2

Factoriza $4 x$ de $- 24 x$ .

$\frac{4 x (x) + 4 x (- 6)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.4.5.3

Factoriza $4 x$ de $4 x (x) + 4 x (- 6)$ .

$f' (x) = \frac{4 x (x - 6)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{4 x (x - 6)}{{(x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{4 x (x - 6)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{4 x (x - 6)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{4 x (x - 6)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$4 x (x - 6) = 0$

Paso 2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.3.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 6 = 0$

Paso 2.3.2

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 2.3.3

Establece $x - 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.3.1

Establece $x - 6$ igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Paso 2.3.3.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 6$

Paso 2.3.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $4 x (x - 6) = 0$ verdadera.

$x = 0, 6$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $0, 6$ .

$0, 6$

Paso 4

Obtén dónde la derivada es indefinida.

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Paso 4.1

Establece el denominador en $\frac{4 x (x - 6)}{{(x - 3)}^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x - 3)}^{2} = 0$

Paso 4.2

Resuelve $x$

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Paso 4.2.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 4.2.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, 3) \cup (3, 6) \cup (6, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f' (- 1) = \frac{4 (- 1) ((- 1) - 6)}{{((- 1) - 3)}^{2}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 4 (- 1 - 6)}{{(- 1 - 3)}^{2}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.2.1

Resta $3$ de $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 4 (- 1 - 6)}{{(- 4)}^{2}}$

Paso 6.2.2.2

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 4 (- 1 - 6)}{16}$

Paso 6.2.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 6.2.3.1

Resta $6$ de $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 4 \cdot - 7}{16}$

Paso 6.2.3.2

Multiplica $- 4$ por $- 7$ .

$f' (- 1) = \frac{28}{16}$

Paso 6.2.3.3

Cancela el factor común de $28$ y $16$ .

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Paso 6.2.3.3.1

Factoriza $4$ de $28$ .

$f' (- 1) = \frac{4 (7)}{16}$

Paso 6.2.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.3.3.2.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$f' (- 1) = \frac{4 \cdot 7}{4 \cdot 4}$

Paso 6.2.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$f' (- 1) = \frac{4 \cdot 7}{4 \cdot 4}$

Paso 6.2.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f' (- 1) = \frac{7}{4}$

Paso 6.2.4

La respuesta final es $\frac{7}{4}$ .

$\frac{7}{4}$

Paso 6.3

En $x = - 1$ la derivada es $\frac{7}{4}$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, 0)$ .

Incremento en $(- \infty, 0)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(0, 3)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{3}{2}$ en la expresión.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{4 (\frac{3}{2}) ((\frac{3}{2}) - 6)}{{((\frac{3}{2}) - 3)}^{2}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Combina $4$ y $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{{(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.2.1

Para escribir $- 3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{{(\frac{3}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

Paso 7.2.2.2

Combina $- 3$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{{(\frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Paso 7.2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{{(\frac{3 - 3 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Paso 7.2.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.2.4.1

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{{(\frac{3 - 6}{2})}^{2}}$

Paso 7.2.2.4.2

Resta $6$ de $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{{(\frac{- 3}{2})}^{2}}$

Paso 7.2.2.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{{(- \frac{3}{2})}^{2}}$

Paso 7.2.2.6

Aplica la regla del producto a $- \frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}}$

Paso 7.2.2.7

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{1 {(\frac{3}{2})}^{2}}$

Paso 7.2.2.8

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})}$

Paso 7.2.2.9

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{1 (\frac{9}{2^{2}})}$

Paso 7.2.2.10

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{1 (\frac{9}{4})}$

Paso 7.2.2.11

Multiplica $\frac{9}{4}$ por $1$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{\frac{9}{4}}$

Paso 7.2.3

Multiplica $4$ por $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{12}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{\frac{9}{4}}$

Paso 7.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.4.1

Divide $12$ por $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{6 (\frac{3}{2} - 6)}{\frac{9}{4}}$

Paso 7.2.4.2

Para escribir $- 6$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{6 (\frac{3}{2} - 6 \cdot \frac{2}{2})}{\frac{9}{4}}$

Paso 7.2.4.3

Combina $- 6$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{6 (\frac{3}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2})}{\frac{9}{4}}$

Paso 7.2.4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{6 (\frac{3 - 6 \cdot 2}{2})}{\frac{9}{4}}$

Paso 7.2.4.5

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.4.5.1

Multiplica $- 6$ por $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{6 (\frac{3 - 12}{2})}{\frac{9}{4}}$

Paso 7.2.4.5.2

Resta $12$ de $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{6 (\frac{- 9}{2})}{\frac{9}{4}}$

Paso 7.2.4.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{6 \cdot (- 1 (\frac{9}{2}))}{\frac{9}{4}}$

Paso 7.2.4.7

Combina exponentes.

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Paso 7.2.4.7.1

Factoriza el negativo.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- (6 (\frac{9}{2}))}{\frac{9}{4}}$

Paso 7.2.4.7.2

Combina $6$ y $\frac{9}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{6 \cdot 9}{2}}{\frac{9}{4}}$

Paso 7.2.4.7.3

Multiplica $6$ por $9$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{54}{2}}{\frac{9}{4}}$

Paso 7.2.4.8

Divide $54$ por $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 1 \cdot 27}{\frac{9}{4}}$

Paso 7.2.5

Multiplica $- 1$ por $27$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 27}{\frac{9}{4}}$

Paso 7.2.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f' (\frac{3}{2}) = - 27 (\frac{4}{9})$

Paso 7.2.7

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 7.2.7.1

Factoriza $9$ de $- 27$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 9 (- 3) (\frac{4}{9})$

Paso 7.2.7.2

Cancela el factor común.

$f' (\frac{3}{2}) = 9 \cdot (- 3 (\frac{4}{9}))$

Paso 7.2.7.3

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{3}{2}) = - 3 \cdot 4$

Paso 7.2.8

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - 12$

Paso 7.2.9

La respuesta final es $- 12$ .

$- 12$

Paso 7.3

En $x = \frac{3}{2}$ la derivada es $- 12$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(0, 3)$ .

Decrecimiento en $(0, 3)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(3, 6)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{9}{2}$ en la expresión.

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{4 (\frac{9}{2}) ((\frac{9}{2}) - 6)}{{((\frac{9}{2}) - 3)}^{2}}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Combina $4$ y $\frac{9}{2}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{{(\frac{9}{2} - 3)}^{2}}$

Paso 8.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 8.2.2.1

Para escribir $- 3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{{(\frac{9}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

Paso 8.2.2.2

Combina $- 3$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{{(\frac{9}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Paso 8.2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{{(\frac{9 - 3 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Paso 8.2.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.2.4.1

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{{(\frac{9 - 6}{2})}^{2}}$

Paso 8.2.2.4.2

Resta $6$ de $9$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{{(\frac{3}{2})}^{2}}$

Paso 8.2.2.5

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{\frac{3^{2}}{2^{2}}}$

Paso 8.2.2.6

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{\frac{9}{2^{2}}}$

Paso 8.2.2.7

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{\frac{9}{4}}$

Paso 8.2.3

Multiplica $4$ por $9$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{36}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{\frac{9}{4}}$

Paso 8.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.4.1

Divide $36$ por $2$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{18 (\frac{9}{2} - 6)}{\frac{9}{4}}$

Paso 8.2.4.2

Para escribir $- 6$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{18 (\frac{9}{2} - 6 \cdot \frac{2}{2})}{\frac{9}{4}}$

Paso 8.2.4.3

Combina $- 6$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{18 (\frac{9}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2})}{\frac{9}{4}}$

Paso 8.2.4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{18 (\frac{9 - 6 \cdot 2}{2})}{\frac{9}{4}}$

Paso 8.2.4.5

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.4.5.1

Multiplica $- 6$ por $2$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{18 (\frac{9 - 12}{2})}{\frac{9}{4}}$

Paso 8.2.4.5.2

Resta $12$ de $9$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{18 (\frac{- 3}{2})}{\frac{9}{4}}$

Paso 8.2.4.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{18 \cdot (- 1 (\frac{3}{2}))}{\frac{9}{4}}$

Paso 8.2.4.7

Combina exponentes.

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Paso 8.2.4.7.1

Factoriza el negativo.

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{- (18 (\frac{3}{2}))}{\frac{9}{4}}$

Paso 8.2.4.7.2

Combina $18$ y $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{- \frac{18 \cdot 3}{2}}{\frac{9}{4}}$

Paso 8.2.4.7.3

Multiplica $18$ por $3$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{- \frac{54}{2}}{\frac{9}{4}}$

Paso 8.2.4.8

Divide $54$ por $2$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{- 1 \cdot 27}{\frac{9}{4}}$

Paso 8.2.5

Multiplica $- 1$ por $27$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{- 27}{\frac{9}{4}}$

Paso 8.2.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f' (\frac{9}{2}) = - 27 (\frac{4}{9})$

Paso 8.2.7

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 8.2.7.1

Factoriza $9$ de $- 27$ .

$f' (\frac{9}{2}) = 9 (- 3) (\frac{4}{9})$

Paso 8.2.7.2

Cancela el factor común.

$f' (\frac{9}{2}) = 9 \cdot (- 3 (\frac{4}{9}))$

Paso 8.2.7.3

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{9}{2}) = - 3 \cdot 4$

Paso 8.2.8

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$f' (\frac{9}{2}) = - 12$

Paso 8.2.9

La respuesta final es $- 12$ .

$- 12$

Paso 8.3

En $x = \frac{9}{2}$ la derivada es $- 12$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(3, 6)$ .

Decrecimiento en $(3, 6)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 9

Sustituye un valor del intervalo $(6, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 9.1

Reemplaza la variable $x$ con $7$ en la expresión.

$f' (7) = \frac{4 (7) ((7) - 6)}{{((7) - 3)}^{2}}$

Paso 9.2

Simplifica el resultado.

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Paso 9.2.1

Multiplica $4$ por $7$ .

$f' (7) = \frac{28 (7 - 6)}{{(7 - 3)}^{2}}$

Paso 9.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 9.2.2.1

Resta $3$ de $7$ .

$f' (7) = \frac{28 (7 - 6)}{4^{2}}$

Paso 9.2.2.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f' (7) = \frac{28 (7 - 6)}{16}$

Paso 9.2.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 9.2.3.1

Resta $6$ de $7$ .

$f' (7) = \frac{28 \cdot 1}{16}$

Paso 9.2.3.2

Multiplica $28$ por $1$ .

$f' (7) = \frac{28}{16}$

Paso 9.2.3.3

Cancela el factor común de $28$ y $16$ .

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Paso 9.2.3.3.1

Factoriza $4$ de $28$ .

$f' (7) = \frac{4 (7)}{16}$

Paso 9.2.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.3.3.2.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$f' (7) = \frac{4 \cdot 7}{4 \cdot 4}$

Paso 9.2.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$f' (7) = \frac{4 \cdot 7}{4 \cdot 4}$

Paso 9.2.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f' (7) = \frac{7}{4}$

Paso 9.2.4

La respuesta final es $\frac{7}{4}$ .

$\frac{7}{4}$

Paso 9.3

En $x = 7$ la derivada es $\frac{7}{4}$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(6, \infty)$ .

Incremento en $(6, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 10

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, 0), (6, \infty)$

Decrecimiento en: $(0, 3), (3, 6)$

Paso 11