Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{6}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1

Como $\frac{1}{6}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{e^{x} + e^{- x}}{6}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{x} + e^{- x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{1}{6} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Paso 1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 1.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 1.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 1.4

Diferencia.

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Paso 1.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Paso 1.4.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.4.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + e^{- x} \cdot - 1)$

Paso 1.4.3.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} - 1 \cdot e^{- x})$

Paso 1.4.3.3

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} - e^{- x})$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{6} e^{x} + \frac{1}{6} (- e^{- x})$

Paso 1.5.2

Combina $\frac{1}{6}$ y $e^{- x}$ .

$\frac{1}{6} e^{x} - \frac{e^{- x}}{6}$

Paso 1.5.3

Combina $\frac{1}{6}$ y $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{6} - \frac{e^{- x}}{6}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{e^{x}}{6} - \frac{e^{- x}}{6}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{- x}}{6}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{e^{x}}{6}) + \frac{d}{d x} (- \frac{e^{- x}}{6})$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{6}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $\frac{1}{6}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{e^{x}}{6}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- \frac{e^{- x}}{6})$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} + \frac{d}{d x} (- \frac{e^{- x}}{6})$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{e^{- x}}{6}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- \frac{1}{6}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{e^{- x}}{6}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} - \frac{1}{6} \cdot \frac{d}{d x} e^{- x}$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} - \frac{1}{6} \cdot (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x))$

Paso 2.3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} - \frac{1}{6} \cdot (e^{u} \frac{d}{d x} (- x))$

Paso 2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} - \frac{1}{6} \cdot (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

Paso 2.3.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} - \frac{1}{6} \cdot (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} - \frac{1}{6} \cdot (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Paso 2.3.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} - \frac{1}{6} \cdot (e^{- x} \cdot - 1)$

Paso 2.3.6

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} - \frac{1}{6} \cdot (- 1 \cdot e^{- x})$

Paso 2.3.7

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} - \frac{1}{6} \cdot (- e^{- x})$

Paso 2.3.8

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} + 1 (\frac{1}{6}) \cdot e^{- x}$

Paso 2.3.9

Multiplica $\frac{1}{6}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} + \frac{1}{6} \cdot e^{- x}$

Paso 2.3.10

Combina $\frac{1}{6}$ y $e^{- x}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} + \frac{e^{- x}}{6}$

Paso 2.4

Combina $\frac{1}{6}$ y $e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{e^{x}}{6} + \frac{e^{- x}}{6}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{e^{x}}{6} - \frac{e^{- x}}{6} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Diferencia.

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Paso 4.1.1.1

Como $\frac{1}{6}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{e^{x} + e^{- x}}{6}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]$

Paso 4.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{x} + e^{- x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{1}{6} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Paso 4.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 4.1.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 4.1.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 4.1.4

Diferencia.

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Paso 4.1.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 4.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Paso 4.1.4.3

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.4.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + e^{- x} \cdot - 1)$

Paso 4.1.4.3.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} - 1 \cdot e^{- x})$

Paso 4.1.4.3.3

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} - e^{- x})$

Paso 4.1.5

Simplifica.

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Paso 4.1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{6} e^{x} + \frac{1}{6} (- e^{- x})$

Paso 4.1.5.2

Combina $\frac{1}{6}$ y $e^{- x}$ .

$\frac{1}{6} e^{x} - \frac{e^{- x}}{6}$

Paso 4.1.5.3

Combina $\frac{1}{6}$ y $e^{x}$ .

$f' (x) = \frac{e^{x}}{6} - \frac{e^{- x}}{6}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{e^{x}}{6} - \frac{e^{- x}}{6}$ .

$\frac{e^{x}}{6} - \frac{e^{- x}}{6}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{e^{x}}{6} - \frac{e^{- x}}{6} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{e^{x}}{6} - \frac{e^{- x}}{6} = 0$

Paso 5.2

Mueve $- \frac{e^{- x}}{6}$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma en ambos lados.

$\frac{e^{x}}{6} = \frac{e^{- x}}{6}$

Paso 5.3

Como la expresión en cada lado de la ecuación tiene el mismo denominador, los numeradores deben ser iguales.

$e^{x} = e^{- x}$

Paso 5.4

Como las bases son las mismas, las dos expresiones solo son iguales si los exponentes también son iguales.

$x = - x$

Paso 5.5

Resuelve $x$

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Paso 5.5.1

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.5.1.1

Suma $x$ a ambos lados de la ecuación.

$x + x = 0$

Paso 5.5.1.2

Suma $x$ y $x$ .

$2 x = 0$

Paso 5.5.2

Divide cada término en $2 x = 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 5.5.2.1

Divide cada término en $2 x = 0$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 5.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 5.5.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Paso 5.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.2.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$x = 0$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 0$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{e^{0}}{6} + \frac{e^{- (0)}}{6}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{e^{0} + e^{- (0)}}{6}$

Paso 9.2

Simplifica cada término.

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Paso 9.2.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1 + e^{- (0)}}{6}$

Paso 9.2.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{1 + e^{0}}{6}$

Paso 9.2.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1 + 1}{6}$

Paso 9.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 9.3.1

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2}{6}$

Paso 9.3.2

Cancela el factor común de $2$ y $6$ .

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Paso 9.3.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{6}$

Paso 9.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Paso 9.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Paso 9.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3}$

Paso 10

$x = 0$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 0$ es un mínimo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = 0$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = \frac{e^{0} + e^{- (0)}}{6}$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 11.2.1.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$f (0) = \frac{1 + e^{- (0)}}{6}$

Paso 11.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f (0) = \frac{1 + e^{0}}{6}$

Paso 11.2.1.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$f (0) = \frac{1 + 1}{6}$

Paso 11.2.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$f (0) = \frac{2}{6}$

Paso 11.2.2

Cancela el factor común de $2$ y $6$ .

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Paso 11.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (0) = \frac{2 (1)}{6}$

Paso 11.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$f (0) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Paso 11.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$f (0) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Paso 11.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f (0) = \frac{1}{3}$

Paso 11.2.3

La respuesta final es $\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{1}{3}$

Paso 12

Estos son los extremos locales de $f (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{6}$ .

$(0, \frac{1}{3})$ es un mínimo local

Paso 13