Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 8 x - 4$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 8 x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{3} x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.2.3

Combina $3$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.2.4

Combina $\frac{3}{3}$ y $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.2.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.2.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.2.5.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $\frac{3}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3}{2} x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} + \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} + \frac{3}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.3.3

Combina $2$ y $\frac{3}{2}$ .

$x^{2} + \frac{2 \cdot 3}{2} x + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.3.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$x^{2} + \frac{6}{2} x + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.3.5

Combina $\frac{6}{2}$ y $x$ .

$x^{2} + \frac{6 x}{2} + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.3.6

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

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Paso 1.3.6.1

Factoriza $2$ de $6 x$ .

$x^{2} + \frac{2 (3 x)}{2} + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.3.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.6.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$x^{2} + \frac{2 (3 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.3.6.2.2

Cancela el factor común.

$x^{2} + \frac{2 (3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.3.6.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{2} + \frac{3 x}{1} + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.3.6.2.4

Divide $3 x$ por $1$ .

$x^{2} + 3 x + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

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Paso 1.4.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} + 3 x + 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{2} + 3 x + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.4.3

Multiplica $8$ por $1$ .

$x^{2} + 3 x + 8 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.5

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.5.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x^{2} + 3 x + 8 + 0$

Paso 1.5.2

Suma $x^{2} + 3 x + 8$ y $0$ .

$x^{2} + 3 x + 8$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 3 x + 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Paso 2.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 x + 3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (8)$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (8)$

Paso 2.2.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 x + 3 + \frac{d}{d x} (8)$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.3.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 2 x + 3 + 0$

Paso 2.3.2

Suma $2 x + 3$ y $0$ .

$f'' (x) = 2 x + 3$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$x^{2} + 3 x + 8 = 0$

Paso 4

Como no hay ningún valor de $x$ que haga que la primera derivada sea igual a $0$ , no hay extremos locales.

No hay extremos locales

Paso 5

No hay extremos locales

Paso 6