Cálculo Ejemplos

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{1}{3}$

Paso 1

Escribe $\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{1}{3}$ como una función.

$f (x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{1}{3}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{1}{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ .

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Paso 2.1.2.1

Como $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x^{3}}{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Paso 2.1.2.3

Combina $3$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Paso 2.1.2.4

Combina $\frac{3}{3}$ y $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Paso 2.1.2.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.1.2.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Paso 2.1.2.5.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $- \frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{x^{2}}{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} - \frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x^{2} - 2 (\frac{1}{2}) x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Paso 2.1.3.4

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2}$ .

$x^{2} + \frac{- 2}{2} x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Paso 2.1.3.5

Combina $\frac{- 2}{2}$ y $x$ .

$x^{2} + \frac{- 2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Paso 2.1.3.6

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 2.1.3.6.1

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$x^{2} + \frac{2 (- x)}{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Paso 2.1.3.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.3.6.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$x^{2} + \frac{2 (- x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Paso 2.1.3.6.2.2

Cancela el factor común.

$x^{2} + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Paso 2.1.3.6.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{2} + \frac{- x}{1} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Paso 2.1.3.6.2.4

Divide $- x$ por $1$ .

$x^{2} - x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Paso 2.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Paso 2.1.4.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Paso 2.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{2} - x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Paso 2.1.4.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$x^{2} - x - 2 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Paso 2.1.5

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.1.5.1

Como $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{3}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x^{2} - x - 2 + 0$

Paso 2.1.5.2

Suma $x^{2} - x - 2$ y $0$ .

$f' (x) = x^{2} - x - 2$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Diferencia.

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Paso 2.2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Paso 2.2.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.2.2.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.2.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x - 1 + 0$

Paso 2.2.3.2

Suma $2 x - 1$ y $0$ .

$f'' (x) = 2 x - 1$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $2 x - 1$ .

$2 x - 1$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $2 x - 1 = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Paso 3.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 1$

Paso 3.3

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 4.1

Sustituye $\frac{1}{2}$ en $f (x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{1}{3}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{1}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{{(\frac{1}{2})}^{3}}{3} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2} - 2 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{1}{2}) = - 2 (\frac{1}{2}) + \frac{{(\frac{1}{2})}^{3} + 1}{3} + \frac{- {(\frac{1}{2})}^{2}}{2}$

Paso 4.1.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 2 (\frac{1}{2}) + \frac{\frac{1^{3}}{2^{3}} + 1}{3} + \frac{- {(\frac{1}{2})}^{2}}{2}$

Paso 4.1.2.2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (\frac{1}{2}) = - 2 (\frac{1}{2}) + \frac{\frac{1}{2^{3}} + 1}{3} + \frac{- {(\frac{1}{2})}^{2}}{2}$

Paso 4.1.2.2.3

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 2 (\frac{1}{2}) + \frac{\frac{1}{8} + 1}{3} + \frac{- {(\frac{1}{2})}^{2}}{2}$

Paso 4.1.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.2.3.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f (\frac{1}{2}) = - 2 (\frac{1}{2}) + \frac{\frac{1}{8} + \frac{8}{8}}{3} + \frac{- {(\frac{1}{2})}^{2}}{2}$

Paso 4.1.2.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{1}{2}) = - 2 (\frac{1}{2}) + \frac{\frac{1 + 8}{8}}{3} + \frac{- {(\frac{1}{2})}^{2}}{2}$

Paso 4.1.2.3.3

Suma $1$ y $8$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 2 (\frac{1}{2}) + \frac{\frac{9}{8}}{3} + \frac{- {(\frac{1}{2})}^{2}}{2}$

Paso 4.1.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.4.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.2.4.1.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$f (\frac{1}{2}) = 2 (- 1) (\frac{1}{2}) + \frac{\frac{9}{8}}{3} + \frac{- {(\frac{1}{2})}^{2}}{2}$

Paso 4.1.2.4.1.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{1}{2}) = 2 \cdot (- 1 (\frac{1}{2})) + \frac{\frac{9}{8}}{3} + \frac{- {(\frac{1}{2})}^{2}}{2}$

Paso 4.1.2.4.1.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{1}{2}) = - 1 + \frac{\frac{9}{8}}{3} + \frac{- {(\frac{1}{2})}^{2}}{2}$

Paso 4.1.2.4.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{1}{2}) = - 1 + \frac{9}{8} \cdot \frac{1}{3} + \frac{- {(\frac{1}{2})}^{2}}{2}$

Paso 4.1.2.4.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.1.2.4.3.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 1 + \frac{3 (3)}{8} \cdot \frac{1}{3} + \frac{- {(\frac{1}{2})}^{2}}{2}$

Paso 4.1.2.4.3.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{1}{2}) = - 1 + \frac{3 \cdot 3}{8} \cdot \frac{1}{3} + \frac{- {(\frac{1}{2})}^{2}}{2}$

Paso 4.1.2.4.3.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{1}{2}) = - 1 + \frac{3}{8} + \frac{- {(\frac{1}{2})}^{2}}{2}$

Paso 4.1.2.4.4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.2.4.4.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 1 + \frac{3}{8} + \frac{- \frac{1^{2}}{2^{2}}}{2}$

Paso 4.1.2.4.4.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (\frac{1}{2}) = - 1 + \frac{3}{8} + \frac{- \frac{1}{2^{2}}}{2}$

Paso 4.1.2.4.4.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 1 + \frac{3}{8} + \frac{- \frac{1}{4}}{2}$

Paso 4.1.2.4.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{1}{2}) = - 1 + \frac{3}{8} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 4.1.2.4.6

Multiplica $- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 4.1.2.4.6.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 1 + \frac{3}{8} - \frac{1}{2 \cdot 4}$

Paso 4.1.2.4.6.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 1 + \frac{3}{8} - \frac{1}{8}$

Paso 4.1.2.5

Simplifica los términos.

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Paso 4.1.2.5.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{1}{2}) = - 1 + \frac{3 - 1}{8}$

Paso 4.1.2.5.2

Resta $1$ de $3$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 1 + \frac{2}{8}$

Paso 4.1.2.5.3

Cancela el factor común de $2$ y $8$ .

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Paso 4.1.2.5.3.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 1 + \frac{2 (1)}{8}$

Paso 4.1.2.5.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.2.5.3.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 1 + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}$

Paso 4.1.2.5.3.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{1}{2}) = - 1 + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}$

Paso 4.1.2.5.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{1}{2}) = - 1 + \frac{1}{4}$

Paso 4.1.2.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 1 \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}$

Paso 4.1.2.7

Combina $- 1$ y $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4}$

Paso 4.1.2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 1 \cdot 4 + 1}{4}$

Paso 4.1.2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.2.9.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 4 + 1}{4}$

Paso 4.1.2.9.2

Suma $- 4$ y $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 3}{4}$

Paso 4.1.2.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{3}{4}$

Paso 4.1.2.11

La respuesta final es $- \frac{3}{4}$ .

$- \frac{3}{4}$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $\frac{1}{2}$ en $f (x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{1}{3}$ es $(\frac{1}{2}, - \frac{3}{4})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(\frac{1}{2}, - \frac{3}{4})$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, \frac{1}{2})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.4$ en la expresión.

$f'' (0.4) = 2 (0.4) - 1$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Multiplica $2$ por $0.4$ .

$f'' (0.4) = 0.8 - 1$

Paso 6.2.2

Resta $1$ de $0.8$ .

$f'' (0.4) = - 0.2$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 0.2$ .

$- 0.2$

Paso 6.3

En $0.4$ , la segunda derivada es $- 0.2$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, \frac{1}{2})$ .

Decrecimiento en $(- \infty, \frac{1}{2})$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(\frac{1}{2}, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.6$ en la expresión.

$f'' (0.6) = 2 (0.6) - 1$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Multiplica $2$ por $0.6$ .

$f'' (0.6) = 1.2 - 1$

Paso 7.2.2

Resta $1$ de $1.2$ .

$f'' (0.6) = 0.2$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $0.2$ .

$0.2$

Paso 7.3

En $0.6$ , la segunda derivada es $0.2$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(\frac{1}{2}, \infty)$ .

Incremento en $(\frac{1}{2}, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. El punto de inflexión en este caso es $(\frac{1}{2}, - \frac{3}{4})$ .

$(\frac{1}{2}, - \frac{3}{4})$

Paso 9