Cálculo Ejemplos

$\frac{9 x^{2} + 25}{x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 9 x^{2} + 25$ y $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 25] - (9 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $9 x^{2} + 25$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]) - (9 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x^{2}$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]) - (9 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [25]) - (9 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.2.4

Multiplica $2$ por $9$ .

$\frac{x (18 x + \frac{d}{d x} [25]) - (9 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.2.5

Como $25$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $25$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x (18 x + 0) - (9 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.2.6

Suma $18 x$ y $0$ .

$\frac{x (18 x) - (9 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{18 (x^{1} x) - (9 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{18 (x^{1} x^{1}) - (9 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{18 x^{1 + 1} - (9 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{18 x^{2} - (9 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{18 x^{2} - (9 x^{2} + 25) \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 1.1.8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{18 x^{2} - (9 x^{2} + 25)}{x^{2}}$

Paso 1.1.9

Simplifica.

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Paso 1.1.9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{18 x^{2} - (9 x^{2}) - 1 \cdot 25}{x^{2}}$

Paso 1.1.9.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.9.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.9.2.1.1

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$\frac{18 x^{2} - 9 x^{2} - 1 \cdot 25}{x^{2}}$

Paso 1.1.9.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $25$ .

$\frac{18 x^{2} - 9 x^{2} - 25}{x^{2}}$

Paso 1.1.9.2.2

Resta $9 x^{2}$ de $18 x^{2}$ .

$\frac{9 x^{2} - 25}{x^{2}}$

Paso 1.1.9.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.9.3.1

Reescribe $9 x^{2}$ como ${(3 x)}^{2}$ .

$\frac{{(3 x)}^{2} - 25}{x^{2}}$

Paso 1.1.9.3.2

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{{(3 x)}^{2} - 5^{2}}{x^{2}}$

Paso 1.1.9.3.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 3 x$ y $b = 5$ .

$f' (x) = \frac{(3 x + 5) (3 x - 5)}{x^{2}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{(3 x + 5) (3 x - 5)}{x^{2}}$ .

$\frac{(3 x + 5) (3 x - 5)}{x^{2}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{(3 x + 5) (3 x - 5)}{x^{2}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{(3 x + 5) (3 x - 5)}{x^{2}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$(3 x + 5) (3 x - 5) = 0$

Paso 2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.3.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$3 x + 5 = 0$

$3 x - 5 = 0$

Paso 2.3.2

Establece $3 x + 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.2.1

Establece $3 x + 5$ igual a $0$ .

$3 x + 5 = 0$

Paso 2.3.2.2

Resuelve $3 x + 5 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.3.2.2.1

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x = - 5$

Paso 2.3.2.2.2

Divide cada término en $3 x = - 5$ por $3$ y simplifica.

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Paso 2.3.2.2.2.1

Divide cada término en $3 x = - 5$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

Paso 2.3.2.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.3.2.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

Paso 2.3.2.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 5}{3}$

Paso 2.3.2.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.2.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{5}{3}$

Paso 2.3.3

Establece $3 x - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.3.1

Establece $3 x - 5$ igual a $0$ .

$3 x - 5 = 0$

Paso 2.3.3.2

Resuelve $3 x - 5 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.3.3.2.1

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = 5$

Paso 2.3.3.2.2

Divide cada término en $3 x = 5$ por $3$ y simplifica.

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Paso 2.3.3.2.2.1

Divide cada término en $3 x = 5$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

Paso 2.3.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.3.3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

Paso 2.3.3.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{5}{3}$

Paso 2.3.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(3 x + 5) (3 x - 5) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{5}{3}, \frac{5}{3}$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Establece el denominador en $\frac{(3 x + 5) (3 x - 5)}{x^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} = 0$

Paso 3.2

Resuelve $x$

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Paso 3.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 3.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 3.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 3.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 3.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 4

Evalúa $\frac{9 x^{2} + 25}{x}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = - \frac{5}{3}$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $- \frac{5}{3}$ por $x$ .

$\frac{9 {(- \frac{5}{3})}^{2} + 25}{- \frac{5}{3}}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$(9 {(- \frac{5}{3})}^{2} + 25) (- \frac{3}{5})$

Paso 4.1.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.2.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 4.1.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{5}{3}$ .

$(9 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{3})}^{2}) + 25) (- \frac{3}{5})$

Paso 4.1.2.2.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{5}{3}$ .

$(9 ({(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{3^{2}}) + 25) (- \frac{3}{5})$

Paso 4.1.2.2.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$(9 (1 \frac{5^{2}}{3^{2}}) + 25) (- \frac{3}{5})$

Paso 4.1.2.2.3

Multiplica $\frac{5^{2}}{3^{2}}$ por $1$ .

$(9 \frac{5^{2}}{3^{2}} + 25) (- \frac{3}{5})$

Paso 4.1.2.2.4

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$(9 \frac{25}{3^{2}} + 25) (- \frac{3}{5})$

Paso 4.1.2.2.5

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$(9 (\frac{25}{9}) + 25) (- \frac{3}{5})$

Paso 4.1.2.2.6

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 4.1.2.2.6.1

Cancela el factor común.

$(9 (\frac{25}{9}) + 25) (- \frac{3}{5})$

Paso 4.1.2.2.6.2

Reescribe la expresión.

$(25 + 25) (- \frac{3}{5})$

Paso 4.1.2.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.1.2.3.1

Suma $25$ y $25$ .

$50 (- \frac{3}{5})$

Paso 4.1.2.3.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 4.1.2.3.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3}{5}$ al numerador.

$50 (\frac{- 3}{5})$

Paso 4.1.2.3.2.2

Factoriza $5$ de $50$ .

$5 (10) \frac{- 3}{5}$

Paso 4.1.2.3.2.3

Cancela el factor común.

$5 \cdot 10 \frac{- 3}{5}$

Paso 4.1.2.3.2.4

Reescribe la expresión.

$10 \cdot - 3$

Paso 4.1.2.3.3

Multiplica $10$ por $- 3$ .

$- 30$

Paso 4.2

Evalúa en $x = \frac{5}{3}$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $\frac{5}{3}$ por $x$ .

$\frac{9 {(\frac{5}{3})}^{2} + 25}{\frac{5}{3}}$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$(9 {(\frac{5}{3})}^{2} + 25) \frac{3}{5}$

Paso 4.2.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{5}{3}$ .

$(9 \frac{5^{2}}{3^{2}} + 25) \frac{3}{5}$

Paso 4.2.2.2.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$(9 \frac{25}{3^{2}} + 25) \frac{3}{5}$

Paso 4.2.2.2.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$(9 (\frac{25}{9}) + 25) \frac{3}{5}$

Paso 4.2.2.2.4

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 4.2.2.2.4.1

Cancela el factor común.

$(9 (\frac{25}{9}) + 25) \frac{3}{5}$

Paso 4.2.2.2.4.2

Reescribe la expresión.

$(25 + 25) \frac{3}{5}$

Paso 4.2.2.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.2.2.3.1

Suma $25$ y $25$ .

$50 (\frac{3}{5})$

Paso 4.2.2.3.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 4.2.2.3.2.1

Factoriza $5$ de $50$ .

$5 (10) \frac{3}{5}$

Paso 4.2.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$5 \cdot 10 \frac{3}{5}$

Paso 4.2.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$10 \cdot 3$

Paso 4.2.2.3.3

Multiplica $10$ por $3$ .

$30$

Paso 4.3

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$\frac{9 {(0)}^{2} + 25}{0}$

Paso 4.3.2

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 4.4

Enumera todos los puntos.

$(- \frac{5}{3}, - 30), (\frac{5}{3}, 30)$

Paso 5