Cálculo Ejemplos

$f (x) = {(3 x^{3} + 7)}^{7}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{7}$ y $g (x) = 3 x^{3} + 7$ .

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Paso 1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x^{3} + 7$ .

$\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 7]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 7$ .

$7 u^{6} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 7]$

Paso 1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x^{3} + 7$ .

$7 {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 7]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{3} + 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$7 {(3 x^{3} + 7)}^{6} (\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])$

Paso 1.2.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{3}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$7 {(3 x^{3} + 7)}^{6} (3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])$

Paso 1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$7 {(3 x^{3} + 7)}^{6} (3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [7])$

Paso 1.2.4

Multiplica $3$ por $3$ .

$7 {(3 x^{3} + 7)}^{6} (9 x^{2} + \frac{d}{d x} [7])$

Paso 1.2.5

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$7 {(3 x^{3} + 7)}^{6} (9 x^{2} + 0)$

Paso 1.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.6.1

Suma $9 x^{2}$ y $0$ .

$7 {(3 x^{3} + 7)}^{6} (9 x^{2})$

Paso 1.2.6.2

Multiplica $9$ por $7$ .

$63 {(3 x^{3} + 7)}^{6} x^{2}$

Paso 1.2.6.3

Reordena los factores de $63 {(3 x^{3} + 7)}^{6} x^{2}$ .

$f' (x) = 63 x^{2} {(3 x^{3} + 7)}^{6}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Como $63$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $63 x^{2} {(3 x^{3} + 7)}^{6}$ con respecto a $x$ es $63 \frac{d}{d x} [x^{2} {(3 x^{3} + 7)}^{6}]$ .

$63 \frac{d}{d x} [x^{2} {(3 x^{3} + 7)}^{6}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = {(3 x^{3} + 7)}^{6}$ .

$63 (x^{2} \frac{d}{d x} [{(3 x^{3} + 7)}^{6}] + {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{6}$ y $g (x) = 3 x^{3} + 7$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x^{3} + 7$ .

$63 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 7]) + {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$63 (x^{2} (6 u^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 7]) + {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x^{3} + 7$ .

$63 (x^{2} (6 {(3 x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 7]) + {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.4

Diferencia.

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Paso 2.4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{3} + 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$63 (x^{2} (6 {(3 x^{3} + 7)}^{5} (\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])) + {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.4.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{3}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$63 (x^{2} (6 {(3 x^{3} + 7)}^{5} (3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])) + {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$63 (x^{2} (6 {(3 x^{3} + 7)}^{5} (3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [7])) + {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.4.4

Multiplica $3$ por $3$ .

$63 (x^{2} (6 {(3 x^{3} + 7)}^{5} (9 x^{2} + \frac{d}{d x} [7])) + {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.4.5

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$63 (x^{2} (6 {(3 x^{3} + 7)}^{5} (9 x^{2} + 0)) + {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.4.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.4.6.1

Suma $9 x^{2}$ y $0$ .

$63 (x^{2} (6 {(3 x^{3} + 7)}^{5} (9 x^{2})) + {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.4.6.2

Multiplica $9$ por $6$ .

$63 (x^{2} (54 {(3 x^{3} + 7)}^{5} x^{2}) + {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.5

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.5.1

Mueve $x^{2}$ .

$63 (x^{2} x^{2} (54 {(3 x^{3} + 7)}^{5}) + {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.5.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$63 (x^{2 + 2} (54 {(3 x^{3} + 7)}^{5}) + {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.5.3

Suma $2$ y $2$ .

$63 (x^{4} (54 {(3 x^{3} + 7)}^{5}) + {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$63 (x^{4} (54 {(3 x^{3} + 7)}^{5}) + {(3 x^{3} + 7)}^{6} (2 x))$

Paso 2.7

Mueve $2$ a la izquierda de ${(3 x^{3} + 7)}^{6}$ .

$63 (x^{4} (54 {(3 x^{3} + 7)}^{5}) + 2 \cdot {(3 x^{3} + 7)}^{6} x)$

Paso 2.8

Simplifica.

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Paso 2.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$63 (x^{4} (54 {(3 x^{3} + 7)}^{5})) + 63 (2 {(3 x^{3} + 7)}^{6} x)$

Paso 2.8.2

Multiplica $54$ por $63$ .

$3402 (x^{4} ({(3 x^{3} + 7)}^{5})) + 63 (2 {(3 x^{3} + 7)}^{6} x)$

Paso 2.8.3

Multiplica $2$ por $63$ .

$3402 x^{4} {(3 x^{3} + 7)}^{5} + 126 ({(3 x^{3} + 7)}^{6} x)$

Paso 2.8.4

Factoriza $126 x {(3 x^{3} + 7)}^{5}$ de $3402 x^{4} {(3 x^{3} + 7)}^{5} + 126 {(3 x^{3} + 7)}^{6} x$ .

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Paso 2.8.4.1

Factoriza $126 x {(3 x^{3} + 7)}^{5}$ de $3402 x^{4} {(3 x^{3} + 7)}^{5}$ .

$126 x {(3 x^{3} + 7)}^{5} (27 x^{3}) + 126 {(3 x^{3} + 7)}^{6} x$

Paso 2.8.4.2

Factoriza $126 x {(3 x^{3} + 7)}^{5}$ de $126 {(3 x^{3} + 7)}^{6} x$ .

$126 x {(3 x^{3} + 7)}^{5} (27 x^{3}) + 126 x {(3 x^{3} + 7)}^{5} (3 x^{3} + 7)$

Paso 2.8.4.3

Factoriza $126 x {(3 x^{3} + 7)}^{5}$ de $126 x {(3 x^{3} + 7)}^{5} (27 x^{3}) + 126 x {(3 x^{3} + 7)}^{5} (3 x^{3} + 7)$ .

$126 x {(3 x^{3} + 7)}^{5} (27 x^{3} + 3 x^{3} + 7)$

Paso 2.8.5

Suma $27 x^{3}$ y $3 x^{3}$ .

$f'' (x) = 126 x {(3 x^{3} + 7)}^{5} (30 x^{3} + 7)$

Paso 3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $126 x {(3 x^{3} + 7)}^{5} (30 x^{3} + 7)$ .

$126 x {(3 x^{3} + 7)}^{5} (30 x^{3} + 7)$