Cálculo Ejemplos

$\sum_{n = 1}^{4} 4 {(\frac{1}{4})}^{n - 1}$

Paso 1

Expande la serie para cada valor de $n$ .

$4 {(\frac{1}{4})}^{1 - 1} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2 - 1} + 4 {(\frac{1}{4})}^{3 - 1} + 4 {(\frac{1}{4})}^{4 - 1}$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Resta $1$ de $1$ .

$4 {(\frac{1}{4})}^{0} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2 - 1} + 4 {(\frac{1}{4})}^{3 - 1} + 4 {(\frac{1}{4})}^{4 - 1}$

Paso 2.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{4}$ .

$4 \frac{1^{0}}{4^{0}} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2 - 1} + 4 {(\frac{1}{4})}^{3 - 1} + 4 {(\frac{1}{4})}^{4 - 1}$

Paso 2.1.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$4 \frac{1}{4^{0}} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2 - 1} + 4 {(\frac{1}{4})}^{3 - 1} + 4 {(\frac{1}{4})}^{4 - 1}$

Paso 2.1.4

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$4 (\frac{1}{1}) + 4 {(\frac{1}{4})}^{2 - 1} + 4 {(\frac{1}{4})}^{3 - 1} + 4 {(\frac{1}{4})}^{4 - 1}$

Paso 2.1.5

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 2.1.5.1

Cancela el factor común.

$4 (\frac{1}{1}) + 4 {(\frac{1}{4})}^{2 - 1} + 4 {(\frac{1}{4})}^{3 - 1} + 4 {(\frac{1}{4})}^{4 - 1}$

Paso 2.1.5.2

Reescribe la expresión.

$4 \cdot 1 + 4 {(\frac{1}{4})}^{2 - 1} + 4 {(\frac{1}{4})}^{3 - 1} + 4 {(\frac{1}{4})}^{4 - 1}$

Paso 2.1.6

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 + 4 {(\frac{1}{4})}^{2 - 1} + 4 {(\frac{1}{4})}^{3 - 1} + 4 {(\frac{1}{4})}^{4 - 1}$

Paso 2.1.7

Resta $1$ de $2$ .

$4 + 4 {(\frac{1}{4})}^{1} + 4 {(\frac{1}{4})}^{3 - 1} + 4 {(\frac{1}{4})}^{4 - 1}$

Paso 2.1.8

Simplifica.

$4 + 4 (\frac{1}{4}) + 4 {(\frac{1}{4})}^{3 - 1} + 4 {(\frac{1}{4})}^{4 - 1}$

Paso 2.1.9

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.1.9.1

Cancela el factor común.

$4 + 4 (\frac{1}{4}) + 4 {(\frac{1}{4})}^{3 - 1} + 4 {(\frac{1}{4})}^{4 - 1}$

Paso 2.1.9.2

Reescribe la expresión.

$4 + 1 + 4 {(\frac{1}{4})}^{3 - 1} + 4 {(\frac{1}{4})}^{4 - 1}$

Paso 2.1.10

Resta $1$ de $3$ .

$4 + 1 + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 4 {(\frac{1}{4})}^{4 - 1}$

Paso 2.1.11

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{4}$ .

$4 + 1 + 4 \frac{1^{2}}{4^{2}} + 4 {(\frac{1}{4})}^{4 - 1}$

Paso 2.1.12

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$4 + 1 + 4 \frac{1}{4^{2}} + 4 {(\frac{1}{4})}^{4 - 1}$

Paso 2.1.13

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$4 + 1 + 4 (\frac{1}{16}) + 4 {(\frac{1}{4})}^{4 - 1}$

Paso 2.1.14

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.1.14.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$4 + 1 + 4 \frac{1}{4 (4)} + 4 {(\frac{1}{4})}^{4 - 1}$

Paso 2.1.14.2

Cancela el factor común.

$4 + 1 + 4 \frac{1}{4 \cdot 4} + 4 {(\frac{1}{4})}^{4 - 1}$

Paso 2.1.14.3

Reescribe la expresión.

$4 + 1 + \frac{1}{4} + 4 {(\frac{1}{4})}^{4 - 1}$

Paso 2.1.15

Resta $1$ de $4$ .

$4 + 1 + \frac{1}{4} + 4 {(\frac{1}{4})}^{3}$

Paso 2.1.16

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{4}$ .

$4 + 1 + \frac{1}{4} + 4 \frac{1^{3}}{4^{3}}$

Paso 2.1.17

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$4 + 1 + \frac{1}{4} + 4 \frac{1}{4^{3}}$

Paso 2.1.18

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$4 + 1 + \frac{1}{4} + 4 (\frac{1}{64})$

Paso 2.1.19

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.1.19.1

Factoriza $4$ de $64$ .

$4 + 1 + \frac{1}{4} + 4 \frac{1}{4 (16)}$

Paso 2.1.19.2

Cancela el factor común.

$4 + 1 + \frac{1}{4} + 4 \frac{1}{4 \cdot 16}$

Paso 2.1.19.3

Reescribe la expresión.

$4 + 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16}$

Paso 2.2

Obtén el denominador común

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Paso 2.2.1

Escribe $4$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{4}{1} + 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16}$

Paso 2.2.2

Multiplica $\frac{4}{1}$ por $\frac{16}{16}$ .

$\frac{4}{1} \cdot \frac{16}{16} + 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16}$

Paso 2.2.3

Multiplica $\frac{4}{1}$ por $\frac{16}{16}$ .

$\frac{4 \cdot 16}{16} + 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16}$

Paso 2.2.4

Escribe $1$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{4 \cdot 16}{16} + \frac{1}{1} + \frac{1}{4} + \frac{1}{16}$

Paso 2.2.5

Multiplica $\frac{1}{1}$ por $\frac{16}{16}$ .

$\frac{4 \cdot 16}{16} + \frac{1}{1} \cdot \frac{16}{16} + \frac{1}{4} + \frac{1}{16}$

Paso 2.2.6

Multiplica $\frac{1}{1}$ por $\frac{16}{16}$ .

$\frac{4 \cdot 16}{16} + \frac{16}{16} + \frac{1}{4} + \frac{1}{16}$

Paso 2.2.7

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4 \cdot 16}{16} + \frac{16}{16} + \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{16}$

Paso 2.2.8

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4 \cdot 16}{16} + \frac{16}{16} + \frac{4}{4 \cdot 4} + \frac{1}{16}$

Paso 2.2.9

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{4 \cdot 16}{16} + \frac{16}{16} + \frac{4}{16} + \frac{1}{16}$

Paso 2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 \cdot 16 + 16 + 4 + 1}{16}$

Paso 2.4

Multiplica $4$ por $16$ .

$\frac{64 + 16 + 4 + 1}{16}$

Paso 2.5

Suma $64$ y $16$ .

$\frac{80 + 4 + 1}{16}$

Paso 2.6

Suma $80$ y $4$ .

$\frac{84 + 1}{16}$

Paso 2.7

Suma $84$ y $1$ .

$\frac{85}{16}$

Paso 3

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{85}{16}$

Forma decimal:

$5.3125$

Forma de número mixto:

$5 \frac{5}{16}$