Cálculo Ejemplos

$\sum_{k = 1}^{3} {(- 1)}^{k + 3} \cos (\frac{π}{k})$

Paso 1

Expande la serie para cada valor de $k$ .

${(- 1)}^{1 + 3} \cos (\frac{π}{1}) + {(- 1)}^{2 + 3} \cos (\frac{π}{2}) + {(- 1)}^{3 + 3} \cos (\frac{π}{3})$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Suma $1$ y $3$ .

${(- 1)}^{4} \cos (\frac{π}{1}) + {(- 1)}^{2 + 3} \cos (\frac{π}{2}) + {(- 1)}^{3 + 3} \cos (\frac{π}{3})$

Paso 2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$1 \cos (\frac{π}{1}) + {(- 1)}^{2 + 3} \cos (\frac{π}{2}) + {(- 1)}^{3 + 3} \cos (\frac{π}{3})$

Paso 2.1.3

Multiplica $\cos (\frac{π}{1})$ por $1$ .

$\cos (\frac{π}{1}) + {(- 1)}^{2 + 3} \cos (\frac{π}{2}) + {(- 1)}^{3 + 3} \cos (\frac{π}{3})$

Paso 2.1.4

Divide $π$ por $1$ .

$\cos (π) + {(- 1)}^{2 + 3} \cos (\frac{π}{2}) + {(- 1)}^{3 + 3} \cos (\frac{π}{3})$

Paso 2.1.5

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$- \cos (0) + {(- 1)}^{2 + 3} \cos (\frac{π}{2}) + {(- 1)}^{3 + 3} \cos (\frac{π}{3})$

Paso 2.1.6

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$- 1 \cdot 1 + {(- 1)}^{2 + 3} \cos (\frac{π}{2}) + {(- 1)}^{3 + 3} \cos (\frac{π}{3})$

Paso 2.1.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1 + {(- 1)}^{2 + 3} \cos (\frac{π}{2}) + {(- 1)}^{3 + 3} \cos (\frac{π}{3})$

Paso 2.1.8

Suma $2$ y $3$ .

$- 1 + {(- 1)}^{5} \cos (\frac{π}{2}) + {(- 1)}^{3 + 3} \cos (\frac{π}{3})$

Paso 2.1.9

Eleva $- 1$ a la potencia de $5$ .

$- 1 - 1 \cos (\frac{π}{2}) + {(- 1)}^{3 + 3} \cos (\frac{π}{3})$

Paso 2.1.10

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$- 1 - 1 \cdot 0 + {(- 1)}^{3 + 3} \cos (\frac{π}{3})$

Paso 2.1.11

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$- 1 + 0 + {(- 1)}^{3 + 3} \cos (\frac{π}{3})$

Paso 2.1.12

Suma $3$ y $3$ .

$- 1 + 0 + {(- 1)}^{6} \cos (\frac{π}{3})$

Paso 2.1.13

Eleva $- 1$ a la potencia de $6$ .

$- 1 + 0 + 1 \cos (\frac{π}{3})$

Paso 2.1.14

Multiplica $\cos (\frac{π}{3})$ por $1$ .

$- 1 + 0 + \cos (\frac{π}{3})$

Paso 2.1.15

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{3})$ es $\frac{1}{2}$ .

$- 1 + 0 + \frac{1}{2}$

Paso 2.2

Suma $- 1$ y $0$ .

$- 1 + \frac{1}{2}$

Paso 2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 2.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 1 \cdot 2 + 1}{2}$

Paso 2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 2 + 1}{2}$

Paso 2.6.2

Suma $- 2$ y $1$ .

$\frac{- 1}{2}$

Paso 2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{2}$

Paso 3

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{1}{2}$

Forma decimal:

$- 0.5$