Cálculo Ejemplos

$\sum_{k = 1}^{30} (\frac{7}{30} k + 5) \frac{7}{30}$

Paso 1

Simplifica la suma.

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Paso 1.1

Combina $\frac{7}{30}$ y $k$ .

$(\frac{7 k}{30} + 5) \frac{7}{30}$

Paso 1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{7 k}{30} \cdot \frac{7}{30} + 5 (\frac{7}{30})$

Paso 1.3

Multiplica $\frac{7 k}{30} \cdot \frac{7}{30}$ .

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Paso 1.3.1

Multiplica $\frac{7 k}{30}$ por $\frac{7}{30}$ .

$\frac{7 k \cdot 7}{30 \cdot 30} + 5 (\frac{7}{30})$

Paso 1.3.2

Multiplica $7$ por $7$ .

$\frac{49 k}{30 \cdot 30} + 5 (\frac{7}{30})$

Paso 1.3.3

Multiplica $30$ por $30$ .

$\frac{49 k}{900} + 5 (\frac{7}{30})$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 1.4.1

Factoriza $5$ de $30$ .

$\frac{49 k}{900} + 5 \frac{7}{5 (6)}$

Paso 1.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{49 k}{900} + 5 \frac{7}{5 \cdot 6}$

Paso 1.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{49 k}{900} + \frac{7}{6}$

Paso 1.5

Reescribe la suma.

$\sum_{k = 1}^{30} \frac{49 k}{900} + \frac{7}{6}$

Paso 2

Divide la suma en sumas más pequeñas de acuerdo con la reglas de suma.

$\sum_{k = 1}^{30} \frac{49 k}{900} + \frac{7}{6} = \sum_{k = 1}^{30} \frac{49 k}{900} + \sum_{k = 1}^{30} \frac{7}{6}$

Paso 3

Evalúa $\sum_{k = 1}^{30} \frac{49 k}{900}$ .

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Paso 3.1

Factoriza $\frac{49}{900}$ fuera de la suma.

$(\frac{49}{900}) \sum_{k = 1}^{30} k$

Paso 3.2

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $1$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Paso 3.3

Sustituye los valores en la fórmula y asegúrate de multiplicar por el término frontal.

$(\frac{49}{900}) (\frac{30 (30 + 1)}{2})$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Simplifica la expresión.

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Paso 3.4.1.1

Suma $30$ y $1$ .

$\frac{49}{900} \cdot \frac{30 \cdot 31}{2}$

Paso 3.4.1.2

Multiplica $30$ por $31$ .

$\frac{49}{900} \cdot \frac{930}{2}$

Paso 3.4.2

Cancela el factor común de $30$ .

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Paso 3.4.2.1

Factoriza $30$ de $900$ .

$\frac{49}{30 (30)} \cdot \frac{930}{2}$

Paso 3.4.2.2

Factoriza $30$ de $930$ .

$\frac{49}{30 \cdot 30} \cdot \frac{30 \cdot 31}{2}$

Paso 3.4.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{49}{30 \cdot 30} \cdot \frac{30 \cdot 31}{2}$

Paso 3.4.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{49}{30} \cdot \frac{31}{2}$

Paso 3.4.3

Multiplica $\frac{49}{30}$ por $\frac{31}{2}$ .

$\frac{49 \cdot 31}{30 \cdot 2}$

Paso 3.4.4

Multiplica.

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Paso 3.4.4.1

Multiplica $49$ por $31$ .

$\frac{1519}{30 \cdot 2}$

Paso 3.4.4.2

Multiplica $30$ por $2$ .

$\frac{1519}{60}$

Paso 4

Evalúa $\sum_{k = 1}^{30} \frac{7}{6}$ .

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Paso 4.1

La fórmula para la suma de una constante es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Paso 4.2

Sustituye los valores en la fórmula.

$(\frac{7}{6}) (30)$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 4.3.1.1

Factoriza $6$ de $30$ .

$\frac{7}{6} (6 (5))$

Paso 4.3.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{7}{6} (6 \cdot 5)$

Paso 4.3.1.3

Reescribe la expresión.

$7 \cdot 5$

Paso 4.3.2

Multiplica $7$ por $5$ .

$35$

Paso 5

Suma los resultados de las sumas.

$\frac{1519}{60} + 35$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Para escribir $35$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{60}{60}$ .

$\frac{1519}{60} + 35 \cdot \frac{60}{60}$

Paso 6.2

Combina $35$ y $\frac{60}{60}$ .

$\frac{1519}{60} + \frac{35 \cdot 60}{60}$

Paso 6.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1519 + 35 \cdot 60}{60}$

Paso 6.4

Simplifica el numerador.

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Paso 6.4.1

Multiplica $35$ por $60$ .

$\frac{1519 + 2100}{60}$

Paso 6.4.2

Suma $1519$ y $2100$ .

$\frac{3619}{60}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{3619}{60}$

Forma decimal:

$60.31\overline{6}$

Forma de número mixto:

$60 \frac{19}{60}$