Cálculo Ejemplos

$\sum_{k = 1}^{7} \frac{k (k + 1)}{2}$

Paso 1

Divide la suma en sumas más pequeñas de acuerdo con la reglas de suma.

$\sum_{k = 1}^{7} \frac{k^{2}}{2} + \frac{k}{2} = \sum_{k = 1}^{7} \frac{k^{2}}{2} + \sum_{k = 1}^{7} \frac{k}{2}$

Paso 2

Evalúa $\sum_{k = 1}^{7} \frac{k^{2}}{2}$ .

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Paso 2.1

Factoriza $\frac{1}{2}$ fuera de la suma.

$(\frac{1}{2}) \sum_{k = 1}^{7} k^{2}$

Paso 2.2

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $2$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Paso 2.3

Sustituye los valores en la fórmula y asegúrate de multiplicar por el término frontal.

$(\frac{1}{2}) (\frac{7 (7 + 1) (2 \cdot 7 + 1)}{6})$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.1.1

Suma $7$ y $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{7 \cdot 8 (2 \cdot 7 + 1)}{6}$

Paso 2.4.1.2

Combina exponentes.

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Paso 2.4.1.2.1

Multiplica $7$ por $8$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{56 (2 \cdot 7 + 1)}{6}$

Paso 2.4.1.2.2

Multiplica $2$ por $7$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{56 (14 + 1)}{6}$

Paso 2.4.1.3

Suma $14$ y $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{56 \cdot 15}{6}$

Paso 2.4.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 2.4.2.1

Multiplica $56$ por $15$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{840}{6}$

Paso 2.4.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.4.2.2.1

Factoriza $2$ de $840$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (420)}{6}$

Paso 2.4.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 420}{6}$

Paso 2.4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{420}{6}$

Paso 2.4.2.3

Divide $420$ por $6$ .

$70$

Paso 3

Evalúa $\sum_{k = 1}^{7} \frac{k}{2}$ .

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Paso 3.1

Factoriza $\frac{1}{2}$ fuera de la suma.

$(\frac{1}{2}) \sum_{k = 1}^{7} k$

Paso 3.2

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $1$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Paso 3.3

Sustituye los valores en la fórmula y asegúrate de multiplicar por el término frontal.

$(\frac{1}{2}) (\frac{7 (7 + 1)}{2})$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Simplifica la expresión.

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Paso 3.4.1.1

Suma $7$ y $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{7 \cdot 8}{2}$

Paso 3.4.1.2

Multiplica $7$ por $8$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{56}{2}$

Paso 3.4.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.2.1

Factoriza $2$ de $56$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (28)}{2}$

Paso 3.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 28}{2}$

Paso 3.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{28}{2}$

Paso 3.4.3

Divide $28$ por $2$ .

$14$

Paso 4

Suma los resultados de las sumas.

$70 + 14$

Paso 5

Suma $70$ y $14$ .

$84$