Cálculo Ejemplos

$x^{2} \sin (\frac{1}{x}) = 2 x y$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{2} \sin (\frac{1}{x})) = \frac{d}{d x} (2 x y)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sin (\frac{1}{x})$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (\frac{1}{x})] + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{1}{x}$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$x^{2} (\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{1}{x}$ .

$x^{2} (\cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.3.1

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$x^{2} (\cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$x^{2} (\cos (\frac{1}{x}) (- x^{- 2})) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.4

Multiplica $x^{2}$ por $x^{- 2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.4.1

Mueve $x^{- 2}$ .

$x^{- 2} x^{2} (\cos (\frac{1}{x}) \cdot (- 1)) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{- 2 + 2} (\cos (\frac{1}{x}) \cdot (- 1)) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.4.3

Suma $- 2$ y $2$ .

$x^{0} (\cos (\frac{1}{x}) \cdot (- 1)) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 2.5.1

Simplifica $x^{0} (\cos (\frac{1}{x}) \cdot (- 1))$ .

$\cos (\frac{1}{x}) \cdot (- 1) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.5.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $\cos (\frac{1}{x})$ .

$- 1 \cdot \cos (\frac{1}{x}) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.5.3

Reescribe $- 1 \cos (\frac{1}{x})$ como $- \cos (\frac{1}{x})$ .

$- \cos (\frac{1}{x}) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \cos (\frac{1}{x}) + \sin (\frac{1}{x}) (2 x)$

Paso 2.7

Reordena los términos.

$2 x \sin (\frac{1}{x}) - \cos (\frac{1}{x})$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x y$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 (x y' + y \cdot 1)$

Paso 3.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$2 (x y' + y)$

Paso 3.6

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x y' + 2 y$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$2 x \sin (\frac{1}{x}) - \cos (\frac{1}{x}) = 2 x y' + 2 y$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $2 x y' + 2 y = 2 x \sin (\frac{1}{x}) - \cos (\frac{1}{x})$ .

$2 x y' + 2 y = 2 x \sin (\frac{1}{x}) - \cos (\frac{1}{x})$

Paso 5.2

Resta $2 y$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x y' = 2 x \sin (\frac{1}{x}) - \cos (\frac{1}{x}) - 2 y$

Paso 5.3

Divide cada término en $2 x y' = 2 x \sin (\frac{1}{x}) - \cos (\frac{1}{x}) - 2 y$ por $2 x$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $2 x y' = 2 x \sin (\frac{1}{x}) - \cos (\frac{1}{x}) - 2 y$ por $2 x$ .

$\frac{2 x y'}{2 x} = \frac{2 x \sin (\frac{1}{x})}{2 x} + \frac{- \cos (\frac{1}{x})}{2 x} + \frac{- 2 y}{2 x}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x y'}{2 x} = \frac{2 x \sin (\frac{1}{x})}{2 x} + \frac{- \cos (\frac{1}{x})}{2 x} + \frac{- 2 y}{2 x}$

Paso 5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x y'}{x} = \frac{2 x \sin (\frac{1}{x})}{2 x} + \frac{- \cos (\frac{1}{x})}{2 x} + \frac{- 2 y}{2 x}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y'}{x} = \frac{2 x \sin (\frac{1}{x})}{2 x} + \frac{- \cos (\frac{1}{x})}{2 x} + \frac{- 2 y}{2 x}$

Paso 5.3.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{2 x \sin (\frac{1}{x})}{2 x} + \frac{- \cos (\frac{1}{x})}{2 x} + \frac{- 2 y}{2 x}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{2 x \sin (\frac{1}{x})}{2 x} + \frac{- \cos (\frac{1}{x})}{2 x} + \frac{- 2 y}{2 x}$

Paso 5.3.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{x \sin (\frac{1}{x})}{x} + \frac{- \cos (\frac{1}{x})}{2 x} + \frac{- 2 y}{2 x}$

Paso 5.3.3.1.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.3.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{x \sin (\frac{1}{x})}{x} + \frac{- \cos (\frac{1}{x})}{2 x} + \frac{- 2 y}{2 x}$

Paso 5.3.3.1.2.2

Divide $\sin (\frac{1}{x})$ por $1$ .

$y' = \sin (\frac{1}{x}) + \frac{- \cos (\frac{1}{x})}{2 x} + \frac{- 2 y}{2 x}$

Paso 5.3.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \sin (\frac{1}{x}) - \frac{\cos (\frac{1}{x})}{2 x} + \frac{- 2 y}{2 x}$

Paso 5.3.3.1.4

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 5.3.3.1.4.1

Factoriza $2$ de $- 2 y$ .

$y' = \sin (\frac{1}{x}) - \frac{\cos (\frac{1}{x})}{2 x} + \frac{2 (- y)}{2 x}$

Paso 5.3.3.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.3.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$y' = \sin (\frac{1}{x}) - \frac{\cos (\frac{1}{x})}{2 x} + \frac{2 (- y)}{2 (x)}$

Paso 5.3.3.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \sin (\frac{1}{x}) - \frac{\cos (\frac{1}{x})}{2 x} + \frac{2 (- y)}{2 x}$

Paso 5.3.3.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \sin (\frac{1}{x}) - \frac{\cos (\frac{1}{x})}{2 x} + \frac{- y}{x}$

Paso 5.3.3.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \sin (\frac{1}{x}) - \frac{\cos (\frac{1}{x})}{2 x} - \frac{y}{x}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \sin (\frac{1}{x}) - \frac{\cos (\frac{1}{x})}{2 x} - \frac{y}{x}$