Cálculo Ejemplos

$y = (3 x^{2} - 6 x + 6) e^{x}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((3 x^{2} - 6 x + 6) e^{x})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 3 x^{2} - 6 x + 6$ y $g (x) = e^{x}$ .

$(3 x^{2} - 6 x + 6) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 6 x + 6]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$(3 x^{2} - 6 x + 6) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 6 x + 6]$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} - 6 x + 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$(3 x^{2} - 6 x + 6) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [6])$

Paso 3.3.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(3 x^{2} - 6 x + 6) e^{x} + e^{x} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [6])$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$(3 x^{2} - 6 x + 6) e^{x} + e^{x} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [6])$

Paso 3.3.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$(3 x^{2} - 6 x + 6) e^{x} + e^{x} (6 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [6])$

Paso 3.3.5

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 x$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(3 x^{2} - 6 x + 6) e^{x} + e^{x} (6 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])$

Paso 3.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(3 x^{2} - 6 x + 6) e^{x} + e^{x} (6 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6])$

Paso 3.3.7

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$(3 x^{2} - 6 x + 6) e^{x} + e^{x} (6 x - 6 + \frac{d}{d x} [6])$

Paso 3.3.8

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(3 x^{2} - 6 x + 6) e^{x} + e^{x} (6 x - 6 + 0)$

Paso 3.3.9

Suma $6 x - 6$ y $0$ .

$(3 x^{2} - 6 x + 6) e^{x} + e^{x} (6 x - 6)$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} e^{x} - 6 x e^{x} + 6 e^{x} + e^{x} (6 x - 6)$

Paso 3.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} e^{x} - 6 x e^{x} + 6 e^{x} + e^{x} (6 x) + e^{x} \cdot - 6$

Paso 3.4.3

Combina los términos.

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Paso 3.4.3.1

Mueve $- 6$ a la izquierda de $e^{x}$ .

$3 x^{2} e^{x} - 6 x e^{x} + 6 e^{x} + e^{x} (6 x) - 6 \cdot e^{x}$

Paso 3.4.3.2

Suma $- 6 x e^{x}$ y $e^{x} (6 x)$ .

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Paso 3.4.3.2.1

Mueve $e^{x}$ .

$3 x^{2} e^{x} + 6 e^{x} - 6 x e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}$

Paso 3.4.3.2.2

Suma $- 6 x e^{x}$ y $6 x e^{x}$ .

$3 x^{2} e^{x} + 6 e^{x} + 0 - 6 e^{x}$

Paso 3.4.3.3

Suma $3 x^{2} e^{x} + 6 e^{x}$ y $0$ .

$3 x^{2} e^{x} + 6 e^{x} - 6 e^{x}$

Paso 3.4.3.4

Resta $6 e^{x}$ de $6 e^{x}$ .

$3 x^{2} e^{x} + 0$

Paso 3.4.3.5

Suma $3 x^{2} e^{x}$ y $0$ .

$3 x^{2} e^{x}$

Paso 3.4.4

Reordena los factores de $3 x^{2} e^{x}$ .

$3 e^{x} x^{2}$

Paso 3.4.5

Reordena los factores en $3 e^{x} x^{2}$ .

$3 x^{2} e^{x}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = 3 x^{2} e^{x}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} e^{x}$