Cálculo Ejemplos

$y \cos (\frac{1}{y}) = 9 x + 9 y$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y \cos (\frac{1}{y})) = \frac{d}{d x} (9 x + 9 y)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = y$ y $g (x) = \cos (\frac{1}{y})$ .

$y \frac{d}{d x} [\cos (\frac{1}{y})] + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = \frac{1}{y}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{1}{y}$ .

$y (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]) + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$y (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]) + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{1}{y}$ .

$y (- \sin (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]) + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 1$ y $g (x) = y$ .

$y (- \sin (\frac{1}{y}) \frac{y \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}) + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$y (- \sin (\frac{1}{y}) \frac{y \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}) + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.4.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$y (- \sin (\frac{1}{y}) \frac{y \cdot 0 - \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}) + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.4.3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.3.1

Multiplica $y$ por $0$ .

$y (- \sin (\frac{1}{y}) \frac{0 - \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}) + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.4.3.2

Resta $\frac{d}{d x} [y]$ de $0$ .

$y (- \sin (\frac{1}{y}) \frac{- \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}) + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.4.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y (- \sin (\frac{1}{y}) (- \frac{\frac{d}{d x} [y]}{y^{2}})) + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.4.3.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y (1 \sin (\frac{1}{y}) \frac{\frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}) + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.4.3.5

Multiplica $\sin (\frac{1}{y})$ por $1$ .

$y (\sin (\frac{1}{y}) \frac{\frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}) + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.5

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y (\sin (\frac{1}{y}) \frac{y'}{y^{2}}) + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.6

Combina $\sin (\frac{1}{y})$ y $\frac{y'}{y^{2}}$ .

$y \frac{\sin (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}} + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.7

Combina $y$ y $\frac{\sin (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}}$ .

$\frac{y (\sin (\frac{1}{y}) y')}{y^{2}} + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.8

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.8.1

Factoriza $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{y (\sin (\frac{1}{y}) y')}{y \cdot y} + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.8.2

Cancela el factor común.

$\frac{y (\sin (\frac{1}{y}) y')}{y \cdot y} + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.8.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sin (\frac{1}{y}) y'}{y} + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.9

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{\sin (\frac{1}{y}) y'}{y} + \cos (\frac{1}{y}) y'$

Paso 2.10

Reordena los términos.

$\cos (\frac{1}{y}) y' + \frac{\sin (\frac{1}{y}) y'}{y}$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $9 x + 9 y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [9 y]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [9 y]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9 y]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9 y]$

Paso 3.2.3

Multiplica $9$ por $1$ .

$9 + \frac{d}{d x} [9 y]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [9 y]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 y$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [y]$ .

$9 + 9 \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$9 + 9 y'$

Paso 3.4

Reordena los términos.

$9 y' + 9$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$\cos (\frac{1}{y}) y' + \frac{\sin (\frac{1}{y}) y'}{y} = 9 y' + 9$

Paso 5

Resuelve $y'$

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, y, 1, 1$

Paso 5.1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$y$

Paso 5.2

Multiplica cada término en $\cos (\frac{1}{y}) y' + \frac{\sin (\frac{1}{y}) y'}{y} = 9 y' + 9$ por $y$ para eliminar las fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Multiplica cada término en $\cos (\frac{1}{y}) y' + \frac{\sin (\frac{1}{y}) y'}{y} = 9 y' + 9$ por $y$ .

$\cos (\frac{1}{y}) y' y + \frac{\sin (\frac{1}{y}) y'}{y} y = 9 y' y + 9 y$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\cos (\frac{1}{y}) y' y + \frac{\sin (\frac{1}{y}) y'}{y} y = 9 y' y + 9 y$

Paso 5.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\cos (\frac{1}{y}) y' y + \sin (\frac{1}{y}) y' = 9 y' y + 9 y$

Paso 5.2.2.2

Reordena los factores en $\cos (\frac{1}{y}) y' y + \sin (\frac{1}{y}) y'$ .

$y' y \cos (\frac{1}{y}) + y' \sin (\frac{1}{y}) = 9 y' y + 9 y$

Paso 5.3

Resuelve la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Resta $9 y' y$ de ambos lados de la ecuación.

$y' y \cos (\frac{1}{y}) + y' \sin (\frac{1}{y}) - 9 y' y = 9 y$

Paso 5.3.2

Factoriza $y'$ de $y' y \cos (\frac{1}{y}) + y' \sin (\frac{1}{y}) - 9 y' y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1

Factoriza $y'$ de $y' y \cos (\frac{1}{y})$ .

$y' (y \cos (\frac{1}{y})) + y' (\sin (\frac{1}{y})) - 9 y' y = 9 y$

Paso 5.3.2.2

Factoriza $y'$ de $y' \sin (\frac{1}{y})$ .

$y' (y \cos (\frac{1}{y})) + y' (\sin (\frac{1}{y})) - 9 y' y = 9 y$

Paso 5.3.2.3

Factoriza $y'$ de $- 9 y' y$ .

$y' (y \cos (\frac{1}{y})) + y' (\sin (\frac{1}{y})) + y' (- 9 y) = 9 y$

Paso 5.3.2.4

Factoriza $y'$ de $y' (y \cos (\frac{1}{y})) + y' (\sin (\frac{1}{y}))$ .

$y' (y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y})) + y' (- 9 y) = 9 y$

Paso 5.3.2.5

Factoriza $y'$ de $y' (y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y})) + y' (- 9 y)$ .

$y' (y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y}) - 9 y) = 9 y$

Paso 5.3.3

Divide cada término en $y' (y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y}) - 9 y) = 9 y$ por $y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y}) - 9 y$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.1

Divide cada término en $y' (y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y}) - 9 y) = 9 y$ por $y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y}) - 9 y$ .

$\frac{y' (y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y}) - 9 y)}{y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y}) - 9 y} = \frac{9 y}{y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y}) - 9 y}$

Paso 5.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.2.1

Cancela el factor común de $y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y}) - 9 y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y}) - 9 y)}{y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y}) - 9 y} = \frac{9 y}{y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y}) - 9 y}$

Paso 5.3.3.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{9 y}{y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y}) - 9 y}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{9 y}{y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y}) - 9 y}$