Cálculo Ejemplos

$y = 3 x^{\frac{2}{3}} - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (3 x^{\frac{2}{3}} - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2)$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{\frac{2}{3}} - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{\frac{2}{3}}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.2.6.2

Resta $3$ de $2$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.2.8

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$3 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.2.9

Combina $3$ y $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{3 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.2.10

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{6 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.2.11

Mueve $x^{- \frac{1}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.2.12

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.2.13

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.13.1

Factoriza $3$ de $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (x^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.2.13.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.2.13.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.3.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.3.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.3.8

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.3.9

Combina $- 4$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{- 4 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.3.10

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{- 4}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.3.11

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.3.12

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.12.1

Factoriza $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.3.12.2

Cancela el factor común.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.3.12.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.3.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.4.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 0$

Paso 3.4.2

Suma $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ y $0$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$