Cálculo Ejemplos

$\sum_{j = 1}^{4} {(\frac{1}{4})}^{j}$

Paso 1

Expande la serie para cada valor de $j$ .

${(\frac{1}{4})}^{1} + {(\frac{1}{4})}^{2} + {(\frac{1}{4})}^{3} + {(\frac{1}{4})}^{4}$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Simplifica.

$\frac{1}{4} + {(\frac{1}{4})}^{2} + {(\frac{1}{4})}^{3} + {(\frac{1}{4})}^{4}$

Paso 2.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{1^{2}}{4^{2}} + {(\frac{1}{4})}^{3} + {(\frac{1}{4})}^{4}$

Paso 2.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{4} + \frac{1}{4^{2}} + {(\frac{1}{4})}^{3} + {(\frac{1}{4})}^{4}$

Paso 2.1.4

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{4} + \frac{1}{16} + {(\frac{1}{4})}^{3} + {(\frac{1}{4})}^{4}$

Paso 2.1.5

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1^{3}}{4^{3}} + {(\frac{1}{4})}^{4}$

Paso 2.1.6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{4^{3}} + {(\frac{1}{4})}^{4}$

Paso 2.1.7

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64} + {(\frac{1}{4})}^{4}$

Paso 2.1.8

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64} + \frac{1^{4}}{4^{4}}$

Paso 2.1.9

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64} + \frac{1}{4^{4}}$

Paso 2.1.10

Eleva $4$ a la potencia de $4$ .

$\frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64} + \frac{1}{256}$

Paso 2.2

Obtén el denominador común

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Paso 2.2.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{64}{64}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{64}{64} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64} + \frac{1}{256}$

Paso 2.2.2

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{64}{64}$ .

$\frac{64}{4 \cdot 64} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64} + \frac{1}{256}$

Paso 2.2.3

Multiplica $\frac{1}{16}$ por $\frac{16}{16}$ .

$\frac{64}{4 \cdot 64} + \frac{1}{16} \cdot \frac{16}{16} + \frac{1}{64} + \frac{1}{256}$

Paso 2.2.4

Multiplica $\frac{1}{16}$ por $\frac{16}{16}$ .

$\frac{64}{4 \cdot 64} + \frac{16}{16 \cdot 16} + \frac{1}{64} + \frac{1}{256}$

Paso 2.2.5

Multiplica $\frac{1}{64}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{64}{4 \cdot 64} + \frac{16}{16 \cdot 16} + \frac{1}{64} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{256}$

Paso 2.2.6

Multiplica $\frac{1}{64}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{64}{4 \cdot 64} + \frac{16}{16 \cdot 16} + \frac{4}{64 \cdot 4} + \frac{1}{256}$

Paso 2.2.7

Multiplica $4$ por $64$ .

$\frac{64}{256} + \frac{16}{16 \cdot 16} + \frac{4}{64 \cdot 4} + \frac{1}{256}$

Paso 2.2.8

Multiplica $16$ por $16$ .

$\frac{64}{256} + \frac{16}{256} + \frac{4}{64 \cdot 4} + \frac{1}{256}$

Paso 2.2.9

Reordena los factores de $64 \cdot 4$ .

$\frac{64}{256} + \frac{16}{256} + \frac{4}{4 \cdot 64} + \frac{1}{256}$

Paso 2.2.10

Multiplica $4$ por $64$ .

$\frac{64}{256} + \frac{16}{256} + \frac{4}{256} + \frac{1}{256}$

Paso 2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{64 + 16 + 4 + 1}{256}$

Paso 2.4

Suma $64$ y $16$ .

$\frac{80 + 4 + 1}{256}$

Paso 2.5

Suma $80$ y $4$ .

$\frac{84 + 1}{256}$

Paso 2.6

Suma $84$ y $1$ .

$\frac{85}{256}$

Paso 3

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{85}{256}$

Forma decimal:

$0.33203125$