Cálculo Ejemplos

$x^{\frac{1}{3}} (x + 4)$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ y $g (x) = x + 4$ .

$x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x + 4] + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{\frac{1}{3}} (1 + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 1.2.3

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} (1 + 0) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 1.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 1.2.4.2

Multiplica $x^{\frac{1}{3}}$ por $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 1.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Paso 1.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Paso 1.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Paso 1.6.2

Resta $3$ de $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Paso 1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Paso 1.8

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Paso 1.9

Mueve $x^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.10

Simplifica.

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Paso 1.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{\frac{1}{3}} + x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.10.2

Combina los términos.

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Paso 1.10.2.1

Combina $x$ y $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.10.2.2

Mueve $x^{\frac{2}{3}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.10.2.3

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{2}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.10.2.3.1

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{2}{3}}$ .

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Paso 1.10.2.3.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{1} x^{- \frac{2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.10.2.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{1 - \frac{2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.10.2.3.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.10.2.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3 - 2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.10.2.3.4

Resta $2$ de $3$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.10.2.4

Combina $4$ y $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.10.2.5

Para escribir $x^{\frac{1}{3}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.10.2.6

Combina $x^{\frac{1}{3}}$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.10.2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3 + x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.10.2.8

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.10.2.9

Suma $3 x^{\frac{1}{3}}$ y $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $\frac{4}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{4}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

Paso 2.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

Paso 2.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

Paso 2.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

Paso 2.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{4}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

Paso 2.2.6.2

Resta $3$ de $1$ .

$\frac{4}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

Paso 2.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{4}{3} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

Paso 2.2.8

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

Paso 2.2.9

Multiplica $\frac{4}{3}$ por $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

Paso 2.2.10

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{9} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

Paso 2.2.11

Mueve $x^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $\frac{4}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$

Paso 2.3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ como ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}]$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

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Paso 2.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}])$

Paso 2.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}])$

Paso 2.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}])$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Paso 2.3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ .

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Paso 2.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Paso 2.3.5.2

Multiplica $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

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Paso 2.3.5.2.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $- 2$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Paso 2.3.5.2.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Paso 2.3.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Paso 2.3.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Paso 2.3.7

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Paso 2.3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Paso 2.3.9

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.9.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}))$

Paso 2.3.9.2

Resta $3$ de $2$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}))$

Paso 2.3.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}))$

Paso 2.3.11

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

Paso 2.3.12

Combina $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ y $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Paso 2.3.13

Multiplica $x^{- \frac{1}{3}}$ por $x^{- \frac{4}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.13.1

Mueve $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3})$

Paso 2.3.13.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3})$

Paso 2.3.13.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3})$

Paso 2.3.13.4

Resta $1$ de $- 4$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3})$

Paso 2.3.13.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3})$

Paso 2.3.14

Mueve $x^{- \frac{5}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}})$

Paso 2.3.15

Multiplica $\frac{4}{3}$ por $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4 \cdot 2}{3 (3 x^{\frac{5}{3}})}$

Paso 2.3.16

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{3 (3 x^{\frac{5}{3}})}$

Paso 2.3.17

Multiplica $3$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}}$