Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{\frac{2}{3}} - x$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{\frac{2}{3}} - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.1.2.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.1.2.3

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.1.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.1.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.2.5.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.1.2.5.2

Resta $3$ de $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.1.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 1 \cdot 1$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 1$

Paso 1.1.4

Simplifica.

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Paso 1.1.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} - 1$

Paso 1.1.4.2

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 1$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 1$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 1$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 1 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 1 = 0$

Paso 2.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 1$

Paso 2.3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$3 x^{\frac{1}{3}}, 1$

Paso 2.3.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$3 x^{\frac{1}{3}}$

Paso 2.4

Multiplica cada término en $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 1$ por $3 x^{\frac{1}{3}}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.4.1

Multiplica cada término en $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 1$ por $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 1 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$3 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 1 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 2.4.2.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 1 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 2.4.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 1 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 2.4.2.3

Cancela el factor común de $x^{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 2.4.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 1 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 2.4.2.3.2

Reescribe la expresión.

$2 = 1 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 2.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.3.1

Multiplica $3 x^{\frac{1}{3}}$ por $1$ .

$2 = 3 x^{\frac{1}{3}}$

Paso 2.5

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.5.1

Reescribe la ecuación como $3 x^{\frac{1}{3}} = 2$ .

$3 x^{\frac{1}{3}} = 2$

Paso 2.5.2

Divide cada término en $3 x^{\frac{1}{3}} = 2$ por $3$ y simplifica.

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Paso 2.5.2.1

Divide cada término en $3 x^{\frac{1}{3}} = 2$ por $3$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{3}}}{3} = \frac{2}{3}$

Paso 2.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{\frac{1}{3}}}{3} = \frac{2}{3}$

Paso 2.5.2.2.2

Divide $x^{\frac{1}{3}}$ por $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{2}{3}$

Paso 2.5.3

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $3$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(\frac{2}{3})}^{3}$

Paso 2.5.4

Simplifica el exponente.

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Paso 2.5.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.4.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 2.5.4.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 2.5.4.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{2}{3})}^{3}$

Paso 2.5.4.1.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.5.4.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{2}{3})}^{3}$

Paso 2.5.4.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = {(\frac{2}{3})}^{3}$

Paso 2.5.4.1.1.2

Simplifica.

$x = {(\frac{2}{3})}^{3}$

Paso 2.5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.4.2.1

Simplifica ${(\frac{2}{3})}^{3}$ .

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Paso 2.5.4.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{2}{3}$ .

$x = \frac{2^{3}}{3^{3}}$

Paso 2.5.4.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$x = \frac{8}{3^{3}}$

Paso 2.5.4.2.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$x = \frac{8}{27}$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $\frac{8}{27}$ .

$\frac{8}{27}$

Paso 4

Obtén dónde la derivada es indefinida.

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Paso 4.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 4.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{1}}} - 1$

Paso 4.1.2

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} - 1$

Paso 4.2

Establece el denominador en $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

Paso 4.3

Resuelve $x$

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Paso 4.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

Paso 4.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 4.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 4.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.2.2.1

Simplifica ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 4.3.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 4.3.2.2.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 4.3.2.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 4.3.2.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 4.3.2.2.1.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.3.2.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 4.3.2.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$27 x^{1} = 0^{3}$

Paso 4.3.2.2.1.4

Simplifica.

$27 x = 0^{3}$

Paso 4.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$27 x = 0$

Paso 4.3.3

Divide cada término en $27 x = 0$ por $27$ y simplifica.

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Paso 4.3.3.1

Divide cada término en $27 x = 0$ por $27$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Paso 4.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.3.2.1

Cancela el factor común de $27$ .

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Paso 4.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Paso 4.3.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{27}$

Paso 4.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.3.3.1

Divide $0$ por $27$ .

$x = 0$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{8}{27}) \cup (\frac{8}{27}, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f' (- 1) = \frac{2}{3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}} - 1$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.1.1.1

Reescribe $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (- 1) = \frac{2}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}} - 1$

Paso 6.2.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 1) = \frac{2}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}} - 1$

Paso 6.2.1.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.2.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$f' (- 1) = \frac{2}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}} - 1$

Paso 6.2.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$f' (- 1) = \frac{2}{3 (- 1)} - 1$

Paso 6.2.1.1.4

Evalúa el exponente.

$f' (- 1) = \frac{2}{3 \cdot - 1} - 1$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{2}{- 3} - 1$

Paso 6.2.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- 1) = - \frac{2}{3} - 1$

Paso 6.2.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f' (- 1) = - \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}$

Paso 6.2.3

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$f' (- 1) = - \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

Paso 6.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (- 1) = \frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}$

Paso 6.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.5.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2 - 3}{3}$

Paso 6.2.5.2

Resta $3$ de $- 2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 5}{3}$

Paso 6.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- 1) = - \frac{5}{3}$

Paso 6.2.7

La respuesta final es $- \frac{5}{3}$ .

$- \frac{5}{3}$

Paso 6.3

En $x = - 1$ la derivada es $- \frac{5}{3}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, 0)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, 0)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(0, \frac{8}{27})$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.\overline{148}$ en la expresión.

$f' (0.\overline{148}) = \frac{2}{3 {(0.\overline{148})}^{\frac{1}{3}}} - 1$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $0.\overline{148}$ a la potencia de $\frac{1}{3}$ .

$f' (0.\overline{148}) = \frac{2}{3 \cdot 0.52913368} - 1$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $3$ por $0.52913368$ .

$f' (0.\overline{148}) = \frac{2}{1.58740105} - 1$

Paso 7.2.1.3

Divide $2$ por $1.58740105$ .

$f' (0.\overline{148}) = 1.25992104 - 1$

Paso 7.2.2

Resta $1$ de $1.25992104$ .

$f' (0.\overline{148}) = 0.25992104$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $0.25992104$ .

$0.25992104$

Paso 7.3

En $x = 0.\overline{148}$ la derivada es $0.25992104$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(0, \frac{8}{27})$ .

Incremento en $(0, \frac{8}{27})$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(\frac{8}{27}, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $1.2962963$ en la expresión.

$f' (1.2962963) = \frac{2}{3 {(1.2962963)}^{\frac{1}{3}}} - 1$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1.1

Eleva $1.2962963$ a la potencia de $\frac{1}{3}$ .

$f' (1.2962963) = \frac{2}{3 \cdot 1.09035543} - 1$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $3$ por $1.09035543$ .

$f' (1.2962963) = \frac{2}{3.27106631} - 1$

Paso 8.2.1.3

Divide $2$ por $3.27106631$ .

$f' (1.2962963) = 0.61142141 - 1$

Paso 8.2.2

Resta $1$ de $0.61142141$ .

$f' (1.2962963) = - 0.38857858$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $- 0.38857858$ .

$- 0.38857858$

Paso 8.3

En $x = 1.2962963$ la derivada es $- 0.38857858$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(\frac{8}{27}, \infty)$ .

Decrecimiento en $(\frac{8}{27}, \infty)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 9

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(0, \frac{8}{27})$

Decrecimiento en: $(- \infty, 0), (\frac{8}{27}, \infty)$

Paso 10