Cálculo Ejemplos

$y = {(6 x - 5)}^{2} {(3 - x^{5})}^{2}$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = {(6 x - 5)}^{2}$ y $g (x) = {(3 - x^{5})}^{2}$ .

${(6 x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [{(3 - x^{5})}^{2}] + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = 3 - x^{5}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 - x^{5}$ .

${(6 x - 5)}^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [3 - x^{5}]) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

${(6 x - 5)}^{2} (2 u \frac{d}{d x} [3 - x^{5}]) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 - x^{5}$ .

${(6 x - 5)}^{2} (2 (3 - x^{5}) \frac{d}{d x} [3 - x^{5}]) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 - x^{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

${(6 x - 5)}^{2} (2 (3 - x^{5}) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{5}])) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Paso 3.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

${(6 x - 5)}^{2} (2 (3 - x^{5}) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{5}])) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Paso 3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

${(6 x - 5)}^{2} (2 (3 - x^{5}) \frac{d}{d x} [- x^{5}]) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Paso 3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{5}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

${(6 x - 5)}^{2} (2 (3 - x^{5}) (- \frac{d}{d x} [x^{5}])) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Paso 3.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

${(6 x - 5)}^{2} (- 2 (3 - x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{5}]) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

${(6 x - 5)}^{2} (- 2 (3 - x^{5}) (5 x^{4})) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Paso 3.7

Multiplica $5$ por $- 2$ .

${(6 x - 5)}^{2} (- 10 (3 - x^{5}) x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

${(6 x - 5)}^{2} ((- 10 \cdot 3 - 10 (- x^{5})) x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

${(6 x - 5)}^{2} (- 10 \cdot 3 x^{4} - 10 (- x^{5}) x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Paso 4.3

Combina los términos.

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Paso 4.3.1

Multiplica $- 10$ por $3$ .

${(6 x - 5)}^{2} (- 30 x^{4} - 10 (- x^{5}) x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Paso 4.3.2

Multiplica $- 1$ por $- 10$ .

${(6 x - 5)}^{2} (- 30 x^{4} + 10 x^{5} x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Paso 4.3.3

Multiplica $x^{5}$ por $x^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.3.3.1

Mueve $x^{4}$ .

${(6 x - 5)}^{2} (- 30 x^{4} + 10 (x^{4} x^{5})) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Paso 4.3.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${(6 x - 5)}^{2} (- 30 x^{4} + 10 x^{4 + 5}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Paso 4.3.3.3

Suma $4$ y $5$ .

${(6 x - 5)}^{2} (- 30 x^{4} + 10 x^{9}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Paso 4.4

Reordena los términos.

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Paso 5

Reescribe ${(6 x - 5)}^{2}$ como $(6 x - 5) (6 x - 5)$ .

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [(6 x - 5) (6 x - 5)]$

Paso 6

Expande $(6 x - 5) (6 x - 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [6 x (6 x - 5) - 5 (6 x - 5)]$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [6 x (6 x) + 6 x \cdot - 5 - 5 (6 x - 5)]$

Paso 6.3

Aplica la propiedad distributiva.

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [6 x (6 x) + 6 x \cdot - 5 - 5 (6 x) - 5 \cdot - 5]$

Paso 7

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 7.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [6 \cdot 6 x \cdot x + 6 x \cdot - 5 - 5 (6 x) - 5 \cdot - 5]$

Paso 7.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 7.1.2.1

Mueve $x$ .

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [6 \cdot 6 (x \cdot x) + 6 x \cdot - 5 - 5 (6 x) - 5 \cdot - 5]$

Paso 7.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [6 \cdot 6 x^{2} + 6 x \cdot - 5 - 5 (6 x) - 5 \cdot - 5]$

Paso 7.1.3

Multiplica $6$ por $6$ .

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [36 x^{2} + 6 x \cdot - 5 - 5 (6 x) - 5 \cdot - 5]$

Paso 7.1.4

Multiplica $- 5$ por $6$ .

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 30 x - 5 (6 x) - 5 \cdot - 5]$

Paso 7.1.5

Multiplica $6$ por $- 5$ .

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 30 x - 30 x - 5 \cdot - 5]$

Paso 7.1.6

Multiplica $- 5$ por $- 5$ .

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 30 x - 30 x + 25]$

Paso 7.2

Resta $30 x$ de $- 30 x$ .

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 60 x + 25]$

Paso 8

Según la regla de la suma, la derivada de $36 x^{2} - 60 x + 25$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} (\frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [25])$

Paso 9

Como $36$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $36 x^{2}$ con respecto a $x$ es $36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} (36 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [25])$

Paso 10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} (36 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [25])$

Paso 11

Multiplica $2$ por $36$ .

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} (72 x + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [25])$

Paso 12

Como $- 60$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 60 x$ con respecto a $x$ es $- 60 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} (72 x - 60 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25])$

Paso 13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} (72 x - 60 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25])$

Paso 14

Multiplica $- 60$ por $1$ .

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} (72 x - 60 + \frac{d}{d x} [25])$

Paso 15

Como $25$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $25$ con respecto a $x$ es $0$ .

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} (72 x - 60 + 0)$

Paso 16

Suma $72 x - 60$ y $0$ .

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} (72 x - 60)$