Cálculo Ejemplos

$\frac{6 y^{2} + 13 y + 6}{20 - 5 y} \div \frac{4 y^{2} - 9}{y^{2} - 2 y - 8}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{6 y^{2} + 13 y + 6}{20 - 5 y} \cdot \frac{y^{2} - 2 y - 8}{4 y^{2} - 9}$

Paso 2

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 6 \cdot 6 = 36$ y cuya suma es $b = 13$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $13$ de $13 y$ .

$\frac{6 y^{2} + 13 (y) + 6}{20 - 5 y} \cdot \frac{y^{2} - 2 y - 8}{4 y^{2} - 9}$

Paso 2.1.2

Reescribe $13$ como $4$ más $9$

$\frac{6 y^{2} + (4 + 9) y + 6}{20 - 5 y} \cdot \frac{y^{2} - 2 y - 8}{4 y^{2} - 9}$

Paso 2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 y^{2} + 4 y + 9 y + 6}{20 - 5 y} \cdot \frac{y^{2} - 2 y - 8}{4 y^{2} - 9}$

Paso 2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(6 y^{2} + 4 y) + 9 y + 6}{20 - 5 y} \cdot \frac{y^{2} - 2 y - 8}{4 y^{2} - 9}$

Paso 2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{2 y (3 y + 2) + 3 (3 y + 2)}{20 - 5 y} \cdot \frac{y^{2} - 2 y - 8}{4 y^{2} - 9}$

Paso 2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 y + 2$ .

$\frac{(3 y + 2) (2 y + 3)}{20 - 5 y} \cdot \frac{y^{2} - 2 y - 8}{4 y^{2} - 9}$

Paso 3

Factoriza $5$ de $20 - 5 y$ .

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Paso 3.1

Factoriza $5$ de $20$ .

$\frac{(3 y + 2) (2 y + 3)}{5 (4) - 5 y} \cdot \frac{y^{2} - 2 y - 8}{4 y^{2} - 9}$

Paso 3.2

Factoriza $5$ de $- 5 y$ .

$\frac{(3 y + 2) (2 y + 3)}{5 (4) + 5 (- y)} \cdot \frac{y^{2} - 2 y - 8}{4 y^{2} - 9}$

Paso 3.3

Factoriza $5$ de $5 (4) + 5 (- y)$ .

$\frac{(3 y + 2) (2 y + 3)}{5 (4 - y)} \cdot \frac{y^{2} - 2 y - 8}{4 y^{2} - 9}$

Paso 4

Factoriza $y^{2} - 2 y - 8$ con el método AC.

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Paso 4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 8$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 4, 2$

Paso 4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(3 y + 2) (2 y + 3)}{5 (4 - y)} \cdot \frac{(y - 4) (y + 2)}{4 y^{2} - 9}$

Paso 5

Simplifica el denominador.

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Paso 5.1

Reescribe $4 y^{2}$ como ${(2 y)}^{2}$ .

$\frac{(3 y + 2) (2 y + 3)}{5 (4 - y)} \cdot \frac{(y - 4) (y + 2)}{{(2 y)}^{2} - 9}$

Paso 5.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{(3 y + 2) (2 y + 3)}{5 (4 - y)} \cdot \frac{(y - 4) (y + 2)}{{(2 y)}^{2} - 3^{2}}$

Paso 5.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 2 y$ y $b = 3$ .

$\frac{(3 y + 2) (2 y + 3)}{5 (4 - y)} \cdot \frac{(y - 4) (y + 2)}{(2 y + 3) (2 y - 3)}$

Paso 6

Cancela el factor común de $2 y + 3$ .

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Paso 6.1

Factoriza $2 y + 3$ de $(3 y + 2) (2 y + 3)$ .

$\frac{(2 y + 3) (3 y + 2)}{5 (4 - y)} \cdot \frac{(y - 4) (y + 2)}{(2 y + 3) (2 y - 3)}$

Paso 6.2

Cancela el factor común.

$\frac{(2 y + 3) (3 y + 2)}{5 (4 - y)} \cdot \frac{(y - 4) (y + 2)}{(2 y + 3) (2 y - 3)}$

Paso 6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 y + 2}{5 (4 - y)} \cdot \frac{(y - 4) (y + 2)}{2 y - 3}$

Paso 7

Multiplica $\frac{3 y + 2}{5 (4 - y)}$ por $\frac{(y - 4) (y + 2)}{2 y - 3}$ .

$\frac{(3 y + 2) ((y - 4) (y + 2))}{5 (4 - y) (2 y - 3)}$

Paso 8

Cancela el factor común de $y - 4$ y $4 - y$ .

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Paso 8.1

Factoriza $- 1$ de $y$ .

$\frac{(3 y + 2) ((- 1 (- y) - 4) (y + 2))}{5 (4 - y) (2 y - 3)}$

Paso 8.2

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$\frac{(3 y + 2) ((- 1 (- y) - 1 (4)) (y + 2))}{5 (4 - y) (2 y - 3)}$

Paso 8.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- y) - 1 (4)$ .

$\frac{(3 y + 2) (- 1 (- y + 4) (y + 2))}{5 (4 - y) (2 y - 3)}$

Paso 8.4

Reordena los términos.

$\frac{(3 y + 2) (- 1 (- y + 4) (y + 2))}{5 (- y + 4) (2 y - 3)}$

Paso 8.5

Cancela el factor común.

$\frac{(3 y + 2) (- 1 (- y + 4) (y + 2))}{5 (- y + 4) (2 y - 3)}$

Paso 8.6

Reescribe la expresión.

$\frac{(3 y + 2) (- 1 (y + 2))}{5 (2 y - 3)}$

Paso 9

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1

Reescribe.

$\frac{(3 y + 2) ((y - 4) (y + 2))}{5 (2 y - 3)}$

Paso 9.2

Factoriza $- 1$ de $y$ .

$\frac{(3 y + 2) ((- 1 (- y) - 4) (y + 2))}{5 (2 y - 3)}$

Paso 9.3

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$\frac{(3 y + 2) ((- 1 (- y) - 1 (4)) (y + 2))}{5 (2 y - 3)}$

Paso 9.4

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- y) - 1 (4)$ .

$\frac{(3 y + 2) (- 1 (- y + 4) (y + 2))}{5 (2 y - 3)}$

Paso 9.5

Reescribe.

$\frac{(3 y + 2) ({(- 1)}^{- 1} (y + 2))}{5 (2 y - 3)}$

Paso 9.6

Eleva $- 1$ a la potencia de $- 1$ .

$\frac{(3 y + 2) (- 1 (y + 2))}{5 (2 y - 3)}$

Paso 9.7

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{(3 y + 2) \cdot - 1 (y + 2)}{5 (2 y - 3)}$

Paso 9.8

Factoriza el negativo.

$\frac{- (3 y + 2) (y + 2)}{5 (2 y - 3)}$

Paso 10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{(3 y + 2) (y + 2)}{5 (2 y - 3)}$