Cálculo Ejemplos

$(1 - e^{z}) (z + e^{z})$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ es $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ donde $f (z) = 1 - e^{z}$ y $g (z) = z + e^{z}$ .

$(1 - e^{z}) \frac{d}{d z} [z + e^{z}] + (z + e^{z}) \frac{d}{d z} [1 - e^{z}]$

Paso 2

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $z + e^{z}$ con respecto a $z$ es $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [e^{z}]$ .

$(1 - e^{z}) (\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [e^{z}]) + (z + e^{z}) \frac{d}{d z} [1 - e^{z}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ es $n z^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(1 - e^{z}) (1 + \frac{d}{d z} [e^{z}]) + (z + e^{z}) \frac{d}{d z} [1 - e^{z}]$

Paso 3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d z} [a^{z}]$ es $a^{z} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + (z + e^{z}) \frac{d}{d z} [1 - e^{z}]$

Paso 4

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - e^{z}$ con respecto a $z$ es $\frac{d}{d z} [1] + \frac{d}{d z} [- e^{z}]$ .

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + (z + e^{z}) (\frac{d}{d z} [1] + \frac{d}{d z} [- e^{z}])$

Paso 4.2

Como $1$ es constante con respecto a $z$ , la derivada de $1$ con respecto a $z$ es $0$ .

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + (z + e^{z}) (0 + \frac{d}{d z} [- e^{z}])$

Paso 4.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d z} [- e^{z}]$ .

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + (z + e^{z}) \frac{d}{d z} [- e^{z}]$

Paso 4.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $z$ , la derivada de $- e^{z}$ con respecto a $z$ es $- \frac{d}{d z} [e^{z}]$ .

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + (z + e^{z}) (- \frac{d}{d z} [e^{z}])$

Paso 5

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d z} [a^{z}]$ es $a^{z} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + (z + e^{z}) (- e^{z})$

Paso 6

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + z (- e^{z}) + e^{z} (- e^{z})$

Paso 6.2

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Multiplica $e^{z}$ por $e^{z}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Mueve $e^{z}$ .

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + z (- e^{z}) + e^{z} e^{z} \cdot - 1$

Paso 6.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + z (- e^{z}) + e^{z + z} \cdot - 1$

Paso 6.2.1.3

Suma $z$ y $z$ .

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + z (- e^{z}) + e^{2 z} \cdot - 1$

Paso 6.2.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{2 z}$ .

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + z (- e^{z}) - 1 \cdot e^{2 z}$

Paso 6.2.3

Reescribe $- 1 e^{2 z}$ como $- e^{2 z}$ .

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + z (- e^{z}) - e^{2 z}$

Paso 6.3

Reordena los términos.

$(1 + e^{z}) (1 - e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

Paso 6.4

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.4.1

Expande $(1 + e^{z}) (1 - e^{z})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 6.4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1 (1 - e^{z}) + e^{z} (1 - e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

Paso 6.4.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 (- e^{z}) + e^{z} (1 - e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

Paso 6.4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 (- e^{z}) + e^{z} \cdot 1 + e^{z} (- e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

Paso 6.4.2

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.4.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.4.2.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$1 + 1 (- e^{z}) + e^{z} \cdot 1 + e^{z} (- e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

Paso 6.4.2.1.2

Multiplica $- e^{z}$ por $1$ .

$1 - e^{z} + e^{z} \cdot 1 + e^{z} (- e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

Paso 6.4.2.1.3

Multiplica $e^{z}$ por $1$ .

$1 - e^{z} + e^{z} + e^{z} (- e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

Paso 6.4.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 - e^{z} + e^{z} - e^{z} e^{z} - e^{z} z - e^{2 z}$

Paso 6.4.2.1.5

Multiplica $e^{z}$ por $e^{z}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.4.2.1.5.1

Mueve $e^{z}$ .

$1 - e^{z} + e^{z} - (e^{z} e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

Paso 6.4.2.1.5.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$1 - e^{z} + e^{z} - e^{z + z} - e^{z} z - e^{2 z}$

Paso 6.4.2.1.5.3

Suma $z$ y $z$ .

$1 - e^{z} + e^{z} - e^{2 z} - e^{z} z - e^{2 z}$

Paso 6.4.2.2

Suma $- e^{z}$ y $e^{z}$ .

$1 + 0 - e^{2 z} - e^{z} z - e^{2 z}$

Paso 6.4.2.3

Suma $1$ y $0$ .

$1 - e^{2 z} - e^{z} z - e^{2 z}$

Paso 6.5

Resta $e^{2 z}$ de $- e^{2 z}$ .

$1 - e^{z} z - 2 e^{2 z}$

Paso 6.6

Reordena los factores en $1 - e^{z} z - 2 e^{2 z}$ .

$1 - z e^{z} - 2 e^{2 z}$